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DGL 2.Ordnung: Tipp partikuläre Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Aufgabe
Lösen Sie die DGL  [mm] y''-y=e^{-x} [/mm] mit den Anfangsbedingungen y(0)=0 und [mm] y#(0)=\bruch{3}{2} [/mm]

Lösung der charakteristischen Gleichung y''-y=0

Ansatz: [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm]
        [mm] y'=\lambda*e^{\lambda*x} [/mm]
        [mm] y''=\lambda^{2}*e^{\lambda*x} [/mm]

[mm] \lambda^{2}-\lambda=0 [/mm]

[mm] \lambda_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}} [/mm]

[mm] \lambda_1=1 [/mm]  und  [mm] \lambda_2=0 [/mm]

Mit [mm] \lambda_1\not=\lambda_2 [/mm] folgt für die Fundamentalbasis

[mm] x_1=e^{\lambda_1*x}=e^{x} [/mm]  und  [mm] x_2=e^{\lambda_2*x}=e^{0}=1 [/mm]

Also [mm] y(x)=C_1*e^{x}+C_2 [/mm]

spezielle Lösung:  Ansatz [mm] y_p(x)=y_p''(x)-y_p(x)=e^{-x} [/mm]



Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich verstehe irgendwie die Lösungsansätze für Störglieder nicht.


Laut Formelsammlung muss ich mit einem der folgenden Ansätze rechnen.

a) [mm] y_p=A*e^{c*x} [/mm] für c keine Lösung der charakteristischen Gleichung

b) [mm] y_p=A*x*e^{c*x} [/mm] für c einfache Lösung der charakteristischen Gleichung

c) [mm] y_p=A*x^{2}*e^{c*x} [/mm] für c doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung

Kann mir das irgendjemand erklären??

        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> Lösen Sie die DGL  [mm]y''-y=e^{-x}[/mm] mit den Anfangsbedingungen
> y(0)=0 und [mm]y#(0)=\bruch{3}{2}[/mm]
>  Lösung der charakteristischen Gleichung y''-y=0
>  
> Ansatz: [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm]
>          [mm]y'=\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
>          [mm]y''=\lambda^{2}*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> [mm]\lambda^{2}-\lambda=0[/mm]

das ist falsch, hier kommt [mm] \lambda^2-1=0 [/mm] hin
somit erhälst du als lösung der homogenen dgl:
[mm] y=c_1*{e}^{x}+c_2{e}^{-x} [/mm]

>  
> [mm]\lambda_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{4}}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1=1[/mm]  und  [mm]\lambda_2=0[/mm]
>  
> Mit [mm]\lambda_1\not=\lambda_2[/mm] folgt für die
> Fundamentalbasis
>  
> [mm]x_1=e^{\lambda_1*x}=e^{x}[/mm]  und  
> [mm]x_2=e^{\lambda_2*x}=e^{0}=1[/mm]
>  
> Also [mm]y(x)=C_1*e^{x}+C_2[/mm]
>  
> spezielle Lösung:  Ansatz [mm]y_p(x)=y_p''(x)-y_p(x)=e^{-x}[/mm]
>  
>
>
> Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich verstehe irgendwie
> die Lösungsansätze für Störglieder nicht.
>  
>
> Laut Formelsammlung muss ich mit einem der folgenden
> Ansätze rechnen.
>
> a) [mm]y_p=A*e^{c*x}[/mm] für c keine Lösung der
> charakteristischen Gleichung
>  
> b) [mm]y_p=A*x*e^{c*x}[/mm] für c einfache Lösung der
> charakteristischen Gleichung

da der ansatz a) in der homogenen lösung auftaucht, muss man nun den ansatz b) wählen, 2 mal ableiten und in die ursprungsdgl einsetzen, um dann durch einen koeffizientenvergleich das A zu bestimmen

gruß tee


>
> c) [mm]y_p=A*x^{2}*e^{c*x}[/mm] für c doppelte Lösung der
> charakteristischen Gleichung
>  
> Kann mir das irgendjemand erklären??


Bezug
                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Danke erstmal für den Tipp. Hab das irgendwie übersehen.
Hab gedacht, es sei y''-y'=0 gefragt.

Das ich Ansatz b) benutzen muss, macht dann auch Sinn.

Ich weiß allerdings nicht, wie ich das umsetz.
Krieg das nicht abgeleitet.

Muss ja nach der Produktregel gehen. Aber ich weiß ja noch nichts über das A oder das c.

Vielleicht noch ein Denkanstoß??



Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> Danke erstmal für den Tipp. Hab das irgendwie übersehen.
>  Hab gedacht, es sei y''-y'=0 gefragt.
>  
> Das ich Ansatz b) benutzen muss, macht dann auch Sinn.
>  
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich das umsetz.
> Krieg das nicht abgeleitet.
>  
> Muss ja nach der Produktregel gehen. Aber ich weiß ja noch
> nichts über das A oder das c.

da die störfunktion [mm] e^{-x} [/mm] lautet, ist c=-1, am exponent verändert sich also nix.
und das A musst du gleich durch koeffizienten-vergleich herausfinden.
also leite den ansatz erstmal 2 mal ab, und setze es dann hier ein:
[mm] y_p=y_p''-y_p=e^{-x} [/mm]

gruß tee

>  
> Vielleicht noch ein Denkanstoß??
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Mich verwirrt das A aber immernoch.

[mm] y_p=A*x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p'=e^{-x}-x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p''=-e^{-x}+x*e^{-x} [/mm]

Einsetzen ergibt: [mm] A*x*e^{-x}=-e^{-x}+x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x} [/mm]

Das erscheint mir falsch. Hab aber keine andere Idee.

Bezug
                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> OK. Mich verwirrt das A aber immernoch.
>  
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_p'=e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_p''=-e^{-x}+x*e^{-x}[/mm]

wieso fällt das A hier überall weg?

>  
> Einsetzen ergibt:
> [mm]A*x*e^{-x}=-e^{-x}+x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}[/mm]
>  
> Das erscheint mir falsch. Hab aber keine andere Idee.


Bezug
                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Hmm...habs mal als von x unabhängig angenommen. War wohl falsch.

Also nochmal.

[mm] y_p=A*x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}-A*x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A'*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A*e^{-x}-A'*x*e^{-x}-A*e^{-x}+A*x*e^{-x} [/mm]

Zusammengefasst:

[mm] y_p=A*x*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}*(1-x)=e^{-x}*(A'+A-Ax) [/mm]
[mm] y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}*(2-2x)+A*e^{-x}*(-2-2x)=e^{-x}*(A''*x+2A'-2A'*x-2A-2Ax) [/mm]

Richtig?


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> Hmm...habs mal als von x unabhängig angenommen. War wohl
> falsch.
>  
> Also nochmal.
>  
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}-A*x*e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A'*x*e^{-x}+A'*e^{-x}-A*e^{-x}-A'*x*e^{-x}-A*e^{-x}+A*x*e^{-x}[/mm]
>  
> Zusammengefasst:
>  
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_p'=A'*x*e^{-x}+A*e^{-x}*(1-x)=e^{-x}*(A'+A-Ax)[/mm]
>  
> [mm]y_p''=A''*x*e^{-x}+A'*e^{-x}*(2-2x)+A*e^{-x}*(-2-2x)=e^{-x}*(A''*x+2A'-2A'*x-2A-2Ax)[/mm]
>  
> Richtig?

nein...
edit:
[mm] y_p'=(A*x*e^{-x})'=A*(x*e^{-x})'=A*(e^{-x}-x*e^{-x})=A*e^{-x}*(1-x) [/mm]
nun du nochmal ;-)

>  


Bezug
                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Dann ist ja [mm] y_p=y_p' [/mm]

Das versteh ich nicht.

Dann müsste ja auch [mm] y_p'=y_p'' [/mm] sein. Oder?



Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mo 05.07.2010
Autor: fencheltee


> Dann ist ja [mm]y_p=y_p'[/mm]
>  
> Das versteh ich nicht.
>  
> Dann müsste ja auch [mm]y_p'=y_p''[/mm] sein. Oder?
>  
>  

oh pardon, hatte die strichchen vergessen, habs nun editiert!

gruß tee


Bezug
                                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:12 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

OK. Dann ist A also eine Konstante die ich nicht ableiten brauch.

Dann ist also

[mm] y_p''=A*(e^{-x}-x*e^{-x})'=A*(-e^{-x}+e^{-x}+x*e^{-x})=A*x*e^{-x} [/mm]

Oder hab ich da schon wieder einen Fehler drin?

Bezug
                                                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Mo 05.07.2010
Autor: hennes82

Hab nochmal weiter gerechnet.

Also

[mm] y_p=A*x*e^{-x} [/mm] und [mm] y_p''=A*(-e^{-x}*((1+x)+1)) [/mm]

Also

[mm] y_p=A*(-2*e^{-x}-x*e^{-x})-A*x+e^{-x}=-2*A*e^{-x}-A*x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x} [/mm]

Dann gilt [mm] -4*A*e^{-x}=e^{-x} [/mm] Also [mm] A=-\bruch{1}{4} [/mm]

Richtig?

Bezug
                                                                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Di 06.07.2010
Autor: fencheltee


> Hab nochmal weiter gerechnet.
>  
> Also
>  
> [mm]y_p=A*x*e^{-x}[/mm] und [mm]y_p''=A*(-e^{-x}*((1+x)+1))[/mm]
>  
> Also
>  
> [mm]y_p=A*(-2*e^{-x}-x*e^{-x})-A*x+e^{-x}=-2*A*e^{-x}-A*x*e^{-x}-A*x*e^{-x}=e^{-x}[/mm]
>  
> Dann gilt [mm]-4*A*e^{-x}=e^{-x}[/mm] Also [mm]A=-\bruch{1}{4}[/mm]
>  

hier muss stehen [mm] -2*A*e^{-x}=e^{-x} [/mm]
[mm] x*e^{-x} [/mm] taucht ja rechts nicht auf und ist 0

gruß tee

> Richtig?


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