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DGL 2.Ordnung: Rückfrage/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mo 16.08.2010
Autor: MatheZonk

Aufgabe
Schreibe die DGL y'' - y' + [mm] e^{2x}*y [/mm] - [mm] x*e^{2x} [/mm] + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle Lösungen.

Hallo zusammen,

ich folgete dem Anzatz aus der Aufgabenstellung wie folgt:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dt}*\bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dt}*e^x. [/mm]

[mm] \bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] =  [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{dt}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] =  [mm] \bruch{dt}{dx}\bruch{d}{dt}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] = [mm] e^x*(\bruch{d^2t}{dt^2}*e^x [/mm] + [mm] \bruch{dy}{dt}*e^x*\bruch{1}{e^x}) [/mm] = [mm] e^{2x}*\bruch{d^2y}{dt^2} [/mm] + [mm] e^{x}*\bruch{d^y}{dt}. [/mm]

Nun schreibe ich die DGL für z(t) um und erhalte:
[mm] t^2 *\bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + [mm] t^2*z [/mm] = [mm] t^2*ln(t) [/mm] - 1,
und somit:
[mm] \bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + z = ln(t) - [mm] 1/t^2. [/mm]

Könntet Ihr schauen, ob meine Rechnung richtig ist? Wie packe ich nun die DGL für z an - mit Wronski-determinante und cos/sin als Fundamentalsystem?

Bin dankbar für jede Hilfe!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mo 16.08.2010
Autor: fred97


> Schreibe die DGL y'' - y' + [mm]e^{2x}*y[/mm] - [mm]x*e^{2x}[/mm] + 1 = 0
> durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse
> die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle
> Lösungen.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich folgete dem Anzatz aus der Aufgabenstellung wie folgt:
>  [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{dy}{dt}*\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{dy}{dt}*e^x.[/mm]
>  
> [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =  
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{dt}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =  
> [mm]\bruch{dt}{dx}\bruch{d}{dt}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =
> [mm]e^x*(\bruch{d^2t}{dt^2}*e^x[/mm] +
> [mm]\bruch{dy}{dt}*e^x*\bruch{1}{e^x})[/mm] =
> [mm]e^{2x}*\bruch{d^2y}{dt^2}[/mm] + [mm]e^{x}*\bruch{d^y}{dt}.[/mm]
>
> Nun schreibe ich die DGL für z(t) um und erhalte:
>  [mm]t^2 *\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + [mm]t^2*z[/mm] = [mm]t^2*ln(t)[/mm] - 1,
> und somit:
>  [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + z = ln(t) - [mm]1/t^2.[/mm]


Das stimmt soweit.

>  
> Könntet Ihr schauen, ob meine Rechnung richtig ist? Wie
> packe ich nun die DGL für z an - mit Wronski-determinante
> und cos/sin als Fundamentalsystem?

Die DGL.

       (*)      [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + z = ln(t) - [mm]1/t^2.[/mm]

ist eine lineare inhomogene Dgl. 2. Ordnung.

Bestimme zuerst die allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gleichung und dann eien spezielle Lösung von (*)

FRED

>  
> Bin dankbar für jede Hilfe!!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Mo 16.08.2010
Autor: MatheZonk

Aufgabe
Schreibe die DGL y'' - y' + $ [mm] e^{2x}\cdot{}y [/mm] $ - $ [mm] x\cdot{}e^{2x} [/mm] $ + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle Lösungen.

Danke für die schnelle Antwort!

Ich glaube, ich habe doch was falsches hingeschrieben. Muss ich denn die Inhomogenität und den Faktor vor $y$ nicht vorher transformieren: $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ? Dann würde man nämlich folgendes rausbekommen:

[mm] t^2*\bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + [mm] e^{2t}*z [/mm] = [mm] t*e^{2*t}-1. [/mm]

Stimmt das jetzt oder transformiere ich hier einfach zu viel rum? Warum ich mit der Aufgabe nicht klar komme ist, weil ich die ursprünglich DGL und die DGL für z mit Maple gelöst habe und es kommen verschieden Lösungen raus. Wobei die homogene DGL hat so oder so das Fundamentalsystem [mm] sin(e^x), cos(e^x) [/mm] für y bzw. sin(t), cos(t) für z. Somit stimmt was mit der Inhomogenität nicht.

Vielen Dank im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mo 16.08.2010
Autor: leduart

Hallo
dein erster post war richtig, jetzt hast du anscheinend wieder mit Fehlern rücksubstituiert.
Dass die urspr. Dgl die homogene Lösung [mm] sin(e^x) [/mm] hat seh ich nicht. setz doch [mm] y=sin(e^x) [/mm] in y'' - y' + $ [mm] e^{2x}\cdot{}y=0 [/mm] $
ein!
versuch für die part. Lösung z=a*ln(t)
Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Di 17.08.2010
Autor: fred97


> Schreibe die DGL y'' - y' + [mm]e^{2x}\cdot{}y[/mm] - [mm]x\cdot{}e^{2x}[/mm]
> + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um
> und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme
> alle Lösungen.
>  Danke für die schnelle Antwort!
>
> Ich glaube, ich habe doch was falsches hingeschrieben. Muss
> ich denn die Inhomogenität und den Faktor vor [mm]y[/mm] nicht
> vorher transformieren: [mm]x \mapsto e^x[/mm] ? Dann würde man
> nämlich folgendes rausbekommen:
>  
> [mm]t^2*\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + [mm]e^{2t}*z[/mm] = [mm]t*e^{2*t}-1.[/mm]

Nein, das ist falsch

>  
> Stimmt das jetzt oder transformiere ich hier einfach zu
> viel rum? Warum ich mit der Aufgabe nicht klar komme ist,
> weil ich die ursprünglich DGL und die DGL für z mit Maple
> gelöst habe und es kommen verschieden Lösungen raus.
> Wobei die homogene DGL hat so oder so das Fundamentalsystem
> [mm]sin(e^x), cos(e^x)[/mm]

Das ist Unsinn. Deine ursprüngliche DGL ist nicht linear, daher sind die Begriffe "Homogen" und "Fundamentalsystem " nicht sinnvoll


> für y bzw. sin(t), cos(t) für z. Somit
> stimmt was mit der Inhomogenität nicht.


Gehe so vor:  

Die allgemeine Lösung der zu   (*)     $ [mm] \bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] $ + z = ln(t) - $ [mm] 1/t^2. [/mm] $   geh. homogenen Gl. lautet:

            $z(t)= [mm] c_1*cos(t)+c_2* [/mm] sin(t)$,   [mm] $c_1,c_2 \in \IR$ [/mm]

Wenn Du Leduarts Hinweis folgst, so siehst Du sehr einfach, dass  $ln(t)$ eine spezielle Lösung der inhom. Gl. (*) ist.

Die allg. Lösung von (*) lautet also:

           $z(t)= [mm] c_1*cos(t)+c_2* [/mm] sin(t)+ln(t)$,   [mm] $c_1,c_2 \in \IR$ [/mm]

Wie lautet jetzt die allgemeine Lösung der ursprünglichen DGL ?

FRED

>  
> Vielen Dank im Voraus.


Bezug
                                
Bezug
DGL 2.Ordnung: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Di 17.08.2010
Autor: MatheZonk

Hallo und herzlichen Dank für die Hilfe!

Obwohl die symbolische Maple-Lösung der unrspünglichen DGL überhaupt nicht nach [mm] sin(e^x) [/mm] + [mm] cos(e^x) [/mm] + x aussah, sehen die Plots gleich aus. Also passt es jetzt.

Danke noch mal!

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