DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Di 13.09.2011 | | Autor: | ben90 |
| Aufgabe | | y'' - 5y' + 6y = x*e^(3x) |
Die homogene Lösung habe ich rausbekommen [y=Ce^(3x) + Ce^(2x)]. Allerdings bekomme die die partielle Lösung nicht raus. Habe es mit dem Ansatz der rechten Seite versucht...
Hoffe ihr könnte mir mit dem Lösungsweg der partiellen Lösung helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ben90,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> y'' - 5y' + 6y = x*e^(3x)
> Die homogene Lösung habe ich rausbekommen [y=Ce^(3x) +
> Ce^(2x)]. Allerdings bekomme die die partielle Lösung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nicht raus. Habe es mit dem Ansatz der rechten Seite
> versucht...
Im Prinzip ist das ja auch richtig, sofern die rechte Seite
oder ein Teil von ihr nicht Lösung der homogenen DGL ist.
Ist sie aber das, so ist hier der Ansatz mit x zu multiplizieren,
da [mm]e^{3x}[/mm] eine Lösung der DGL ist.
> Hoffe ihr könnte mir mit dem Lösungsweg der partiellen
> Lösung helfen!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 15.09.2011 | | Autor: | ben90 |
Sorry das kann ich nicht ganz nachvollziehen! Verwende ich hier nicht den Typ der rechten Seite?
Ich dachte mit x muss ich nur bei Resonanz multiplizieren!
Kannst du mir die partielle Lösung mal vorrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Do 15.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ben,
Du kannst hier einen Ansatz vom Typ der rechten Seite machen, überprüfst aber diesen Ansatz auf Resonanz mit der homogenen Lösung. Aus meinen alten Matheunterlagen finde ich heraus, dass die rechte Seite [mm] x e^{3x} [/mm] günstig ist und dass zu dieser rechten Seite der Satz von Lösungen [mm] e^{3x}\, {\rm und }\, xe^{3x} [/mm] gehört. Eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist [mm] \lambda = 3 [/mm] und der dazugehörige Term taucht auch in der homogenen Lösung auf, wie Du ja ausgerechnest hast. Damit wird der Satz von Lösungen mit [mm] x [/mm] multipliziert und Du bekommst den Ansatz für die partielle Lösung zu
[mm] y_p = x\cdot \left(A_1 e^{3x} + A_2 x e^{e3x} \right)[/mm]
Damit gehst Du in die DLG rein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 15.09.2011 | | Autor: | ben90 |
Sorry ich versteh das nicht. Wir haben das glaube ich so nie in der Vorlesung gemacht!
Bis zur homogenen Lösung yh = Ce^(3x) + Ce^(2x) ist es mir klar. Dann mach ich Typ der rechten Seite. Auf der rechten Seite steht x*e^(3x).
Aus meinem charakteristischen Polynom habe ich die Ergebnisse 2 und 3. Da es nun auf der rechten Seite e^(3x) heißt, habe ich hier einfach Resonanz??? Stimmt das?
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Hallo ben90,
> Sorry ich versteh das nicht. Wir haben das glaube ich so
> nie in der Vorlesung gemacht!
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> Bis zur homogenen Lösung yh = Ce^(3x) + Ce^(2x) ist es mir
> klar.
Mir nicht, wieso sollten die Konstanten [mm]C[/mm] gleich sein?
Du brauchst doch eine LK von [mm]e^{3x}[/mm] und [mm]e^{2x}[/mm], also
[mm]y_h=C_1\cdot{}e^{3x}+C_2\cdot{}e^{2x}[/mm] <-- klicke drauf für den Quellcode!
> Dann mach ich Typ der rechten Seite. Auf der rechten
> Seite steht x*e^(3x).
> Aus meinem charakteristischen Polynom habe ich die
> Ergebnisse 2 und 3. Da es nun auf der rechten Seite e^(3x)
> heißt, habe ich hier einfach Resonanz??? Stimmt das?
Ja, und genau darum musst du den Ansatz wählen, der dir weiter oben schon vorgeschlagen wurde.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 16.09.2011 | | Autor: | ben90 |
Habe es jetzt schon xmal probiert aber komm nicht drauf!!!
Habe für y(partiell) = x*e^(3x) *(Ax+B).
Das habe ich versucht zweimal abzuleiten, was auch schon nicht wirklich geklappt hat. Und wenn ich dann in die DGL einsetze kommt nix Gescheites raus! Irgendwo muss da ein Fehler sein?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 16.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
solange du deine rechnung nicht vormachst können wir deinen fehler nicht finden! also rechne einfach mal vor!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 16.09.2011 | | Autor: | ben90 |
yh = C1*e^2x + C2*e^3x
yp = y'' - 5y' + 6y = x*e^3x
--> einfache Resonanz:
yp=x * e^3x * (Ax+B)
Jetzt müsste ich yp' und yp'' bestimmen und dann wieder oben in yp einsetzen, um A und B zu bestimmen. Die Ableitungen bekomme ich aber nicht hin.
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Hallo ben90,
> yh = C1*e^2x + C2*e^3x
>
> yp = y'' - 5y' + 6y = x*e^3x
>
> --> einfache Resonanz:
>
> yp=x * e^3x * (Ax+B)
>
> Jetzt müsste ich yp' und yp'' bestimmen und dann wieder
> oben in yp einsetzen, um A und B zu bestimmen. Die
> Ableitungen bekomme ich aber nicht hin.
Poste wie weit Du mit den Ableitungen kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 18.09.2011 | | Autor: | ben90 |
Ich bekomme die Ableitung überhaupt nicht hin (wie ich bereits gesagt habe).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Mo 19.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst [mm] x^2*e^{3x} [/mm] ableiten; Produktregel und [mm] x*e^{3x} [/mm] ebenso mit dem Ansatz , der dir schon gesagt wurde :$ [mm] y_p [/mm] = [mm] x\cdot \left(A_1 e^{3x} + A_2 x e^{e3x} \right) [/mm] $
multiplizier die klammer aus. du kannst DGL nicht lösen, wenn du die produktregel nicht kannstund [mm] (e^{3x})'=3*e^{3x}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 19.09.2011 | | Autor: | ben90 |
Mit dem Ansatz: e^(3x)*(Ax + [mm] Bx^2) [/mm]
Komme ich auf die Gleichung: A + 2Bx + 2B = x
Daraus schließe ich: B=0,5 und A=-1
Eingesetzt ergibt sich: yp = [mm] 0,5*e^{3x}*x^2 [/mm] - e^(3x) * x
Stimmt das?
Laut Wolfram alpha lautet die Lösung: [mm] 0,5*(e^(3x))*(x^2)-e^(3x)*x+e^(3x)[/mm]
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Hallo ben90,
> Mit dem Ansatz: e^(3x)*(Ax + [mm]Bx^2)[/mm]
> Komme ich auf die Gleichung: A + 2Bx + 2B = x
> Daraus schließe ich: B=0,5 und A=-1
> Eingesetzt ergibt sich: yp = [mm]0,5*e^{3x}*x^2[/mm] - e^(3x) * x
>
> Stimmt das?
>
Ja.
> Laut Wolfram alpha lautet die Lösung:
> [mm]0,5*(e^(3x))*(x^2)-e^(3x)*x+e^(3x)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mo 19.09.2011 | | Autor: | ben90 |
OK danke soweit.
Aber laut Wolfram alpha kommt ein anderes Ergebnis raus. Da steht am Ende noch +e^(3x). Wieso? Woher kommt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 19.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es kommt dasselbe raus, wenn du die allgemeine Lösung der homogenen addierst.
du brauchst ja nur irgendeine lösung der inhomogenen, du hast eine, wolfram ne andere ,die Gesamtlölsung ist dieselbe!
wieso konntest du auf einmal differeenzieren?
Gruss leduart
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