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DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Hilfe zur Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Di 19.04.2011
Autor: maverick1804

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine L osung der folgenden linearen DGL.
y'' - 2y' + y = x sinh(x)

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)


Habe zunächst das char. Poly: brechnet mit

x(k) = k²-2k+1 <=> (k-1)²

Nst.: k=1, dopp. Nst.

=> homogene Lösung: [mm] y_h(x) [/mm] = [mm] c1*e^x [/mm] + [mm] c2*x*e^x [/mm]


Nun muss ich ja die Rechte Seite der ausgangs Aufgabe beachten und die partikuläre Lösung dafür aufstellen. Leider habe ich dazu keinen blauen Dunst zu wie man dazu den Ansatz wählt. Da dieser ja abhängig von der rechten Seite ist. Das ganze macht man ja dann mit A und B und Koeffizienten vergleich. Leitet ab und setzt in die DGL ein. Löst auf Fertig.

Leider fehlt mir immer der Ansatz, und weiß nie wie ich beginnen soll. Eine kurze Info wie ich diesen Aufstelle wäre nett, vor allem halt jetzt z.B. auch für diesen Speziellen fall, und wie man darauf kommt.

Gruß



        
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Di 19.04.2011
Autor: MathePower

Hallo maverick1804,


[willkommenmr]


> Bestimmen Sie die allgemeine L osung der folgenden
> linearen DGL.
>  y'' - 2y' + y = x sinh(x)
>  (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>  
>
> Habe zunächst das char. Poly: brechnet mit
>
> x(k) = k²-2k+1 <=> (k-1)²
>  
> Nst.: k=1, dopp. Nst.
>  
> => homogene Lösung: [mm]y_h(x)[/mm] = [mm]c1*e^x[/mm] + [mm]c2*x*e^x[/mm]
>  


[ok]


>
> Nun muss ich ja die Rechte Seite der ausgangs Aufgabe
> beachten und die partikuläre Lösung dafür aufstellen.
> Leider habe ich dazu keinen blauen Dunst zu wie man dazu
> den Ansatz wählt. Da dieser ja abhängig von der rechten
> Seite ist. Das ganze macht man ja dann mit A und B und
> Koeffizienten vergleich. Leitet ab und setzt in die DGL
> ein. Löst auf Fertig.
>  
> Leider fehlt mir immer der Ansatz, und weiß nie wie ich
> beginnen soll. Eine kurze Info wie ich diesen Aufstelle
> wäre nett, vor allem halt jetzt z.B. auch für diesen
> Speziellen fall, und wie man darauf kommt.


Zerlege sinh(x):

[mm]\sinh\left(x\right)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}[/mm]

Dann kannst Du den Ansatz entsprechend wählen.


>  
> Gruß
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Di 19.04.2011
Autor: maverick1804

mh ja soweit hatte ich das auch schon. aber das hat mir auch irgendwie nicht weitergeholfen. da ich nun noch immer das Problem habe, was der "A" und was der "B"-Teil ist. das im grunde mein problem an diesen aufgaben typen.

wäre es

A*((1/2)*x) + [mm] B*(e^x-e^{-x}) [/mm]


Bezug
                        
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 20.04.2011
Autor: MathePower

Hallo maverick1804,

> mh ja soweit hatte ich das auch schon. aber das hat mir
> auch irgendwie nicht weitergeholfen. da ich nun noch immer
> das Problem habe, was der "A" und was der "B"-Teil ist. das
> im grunde mein problem an diesen aufgaben typen.
>  
> wäre es
>  
> A*((1/2)*x) + [mm]B*(e^x-e^{-x})[/mm]
>  


Nein.

Die Störfunktion schreibt sich doch so:

[mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]

Hiernach wählst Du den Ansatz:

i) Da [mm]x*e^{x}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist,
    lautet der Ansatz hier: [mm]x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}[/mm]

ii) [mm]x*e^{-x}[/mm] ist keine Lösung der homogenen DGL,
    daher lautet der Ansatz [mm] \left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]


Somit ergibt sich der Ansatz:

[mm]y_{p}\left(x\right)=x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}+\left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mi 20.04.2011
Autor: maverick1804


> Nein.
>  
> Die Störfunktion schreibt sich doch so:
>  
> [mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]
>  
> Hiernach wählst Du den Ansatz:
>  
> i) Da [mm]x*e^{x}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist,
>      lautet der Ansatz hier:
> [mm]x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}[/mm]
>  
> ii) [mm]x*e^{-x}[/mm] ist keine Lösung der homogenen DGL,
>      daher lautet der Ansatz [mm]\left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]
>  
>
> Somit ergibt sich der Ansatz:
>  
> [mm]y_{p}\left(x\right)=x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}+\left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]
>  
>
> Gruss
>  MathePower

ok das heißt dann also:

[mm] y_p(x)=x^2+(ax+b)*e^x+(cx+d)*e^{-x} [/mm]
[mm] y_p'(x)=e^{-x}*(e^{2x}*x(ax(x+3)+b(x+2))+c(-x)+c-d) [/mm]
[mm] y_p''(x)=e^{-x}*(e^{2x}*(ax(x^2+6x+6)+b(x^2+4x+2))+c(x-2)+d) [/mm]


das dann in die DGL einsetzen und aufdröseln komme dann auf

[mm] 6a*e^x*x+2b*e^x-4c*e^{-x}+4*c*e^{-x}*x+4*d*e^{-x}=x*sinh(x) [/mm]

Jetzt nur noch Koeffizientenvergleich?

[mm] 6*a*e^x*x+4*c*e^{-x}*x=x*sinh(x) [/mm]
[mm] 2*b*e^x-4ce^{-x}+4de^{-x}=0 [/mm]

...usw... ?

vielen dank schon mal, hat mir auf jeden fall schon sehr geholfen.

Bezug
                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 20.04.2011
Autor: MathePower

Hallo maverick1804,

> > Nein.
>  >  
> > Die Störfunktion schreibt sich doch so:
>  >  
> >
> [mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]
>  >  
> > Hiernach wählst Du den Ansatz:
>  >  
> > i) Da [mm]x*e^{x}[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist,
>  >      lautet der Ansatz hier:
> > [mm]x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}[/mm]
>  >  
> > ii) [mm]x*e^{-x}[/mm] ist keine Lösung der homogenen DGL,
>  >      daher lautet der Ansatz [mm]\left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]
>  >  
> >
> > Somit ergibt sich der Ansatz:
>  >  
> >
> [mm]y_{p}\left(x\right)=x^{2}*\left(a*x+b\right)*e^{x}+\left(c*x+d\right)*e^{-x}[/mm]
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> ok das heißt dann also:
>  
> [mm]y_p(x)=x^2+(ax+b)*e^x+(cx+d)*e^{-x}[/mm]
>  [mm]y_p'(x)=e^{-x}*(e^{2x}*x(ax(x+3)+b(x+2))+c(-x)+c-d)[/mm]
>  
> [mm]y_p''(x)=e^{-x}*(e^{2x}*(ax(x^2+6x+6)+b(x^2+4x+2))+c(x-2)+d)[/mm]
>  
>
> das dann in die DGL einsetzen und aufdröseln komme dann
> auf
>  
> [mm]6a*e^x*x+2b*e^x-4c*e^{-x}+4*c*e^{-x}*x+4*d*e^{-x}=x*sinh(x)[/mm]


[ok]


>  
> Jetzt nur noch Koeffizientenvergleich?


Bevor Du den Koeffizientenvergleich durchführen kannst,
mußt Du die Störfunktion [mm]x*\sinh\left(x\right)[/mm] umschreiben:

[mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]


>
> [mm]6*a*e^x*x+4*c*e^{-x}*x=x*sinh(x)[/mm]
>  [mm]2*b*e^x-4ce^{-x}+4de^{-x}=0[/mm]
>  
> ...usw... ?
>  
> vielen dank schon mal, hat mir auf jeden fall schon sehr
> geholfen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mi 20.04.2011
Autor: maverick1804


> >  

> > Jetzt nur noch Koeffizientenvergleich?
>
>
> Bevor Du den Koeffizientenvergleich durchführen kannst,
>  mußt Du die Störfunktion [mm]x*\sinh\left(x\right)[/mm]
> umschreiben:
>  
> [mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]
>  
>

aber das macht doch keinen unterschied für den vergleich? :S

komme dann trotzdem für

a=1/12 und c=-1/8 für den teil.

weil dann steht doch da nur

[mm] 6*a*e^x*x+4*c*e^{-x}*x=1/2*x*e^x-1/2*x*e^{-x} [/mm]

aber das löst sich doch am ende gleich auf zu x*sinh(x) ?

wobei ich bei beiden sachen dann am ende hänge und keinen wert bekomme unabhängig von b

Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 20.04.2011
Autor: MathePower

Hallo maverick1804,

> > >  

> > > Jetzt nur noch Koeffizientenvergleich?
> >
> >
> > Bevor Du den Koeffizientenvergleich durchführen kannst,
>  >  mußt Du die Störfunktion [mm]x*\sinh\left(x\right)[/mm]
> > umschreiben:
>  >  
> >
> [mm]x*\sinh\left(x\right)=\bruch{1}{2}*x*e^{x}-\bruch{1}{2}*x*e^{-x}[/mm]
>  >  
> >
>
> aber das macht doch keinen unterschied für den vergleich?
> :S
>
> komme dann trotzdem für
>
> a=1/12 und c=-1/8 für den teil.
>  
> weil dann steht doch da nur
>
> [mm]6*a*e^x*x+4*c*e^{-x}*x=1/2*x*e^x-1/2*x*e^{-x}[/mm]
>  
> aber das löst sich doch am ende gleich auf zu x*sinh(x) ?
>  
> wobei ich bei beiden sachen dann am ende hänge und keinen
> wert bekomme unabhängig von b


Nun, es gibt auch einen reinen Exponentialanteil (kein "x" davor").

[mm]\alpha*e^{x}+\beta*e^{-x}=0[/mm]

Aus diesem Exponentialanteil berechnen sich die fehlenden Größen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Mi 20.04.2011
Autor: maverick1804


> Nun, es gibt auch einen reinen Exponentialanteil (kein "x"
> davor").
>  
> [mm]\alpha*e^{x}+\beta*e^{-x}=0[/mm]
>  
> Aus diesem Exponentialanteil berechnen sich die fehlenden
> Größen.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

ja aber das ist doch genau dieser teil hier:

[mm] 2*b*e^x-4*c*e^{-x}+4*d*e^{-x}=0 [/mm]

und das wäre dann irgendwie b=0 und c=d :S oder was meinst du nun? nu bin ich ganz raus durch die info =/

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL 2.Ordnung partikuläre Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Do 21.04.2011
Autor: MathePower

Hallo maverick1804,


> > Nun, es gibt auch einen reinen Exponentialanteil (kein "x"
> > davor").
>  >  
> > [mm]\alpha*e^{x}+\beta*e^{-x}=0[/mm]
>  >  
> > Aus diesem Exponentialanteil berechnen sich die fehlenden
> > Größen.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> ja aber das ist doch genau dieser teil hier:
>  
> [mm]2*b*e^x-4*c*e^{-x}+4*d*e^{-x}=0[/mm]
>  
> und das wäre dann irgendwie b=0 und c=d :S oder was meinst
> du nun? nu bin ich ganz raus durch die info =/


Genau diesen Teil meine ich.


Gruss
MathePower

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