DGL 2. Ordn., konstant. Koeff. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo erstmal,
eigentlich bekomme ich das gebacken aber diese eigentlich simple Aufgabe lässt mich an meinen Fähigkeiten zweifeln:
u'' + u = sin(t), wobei u(t).
Also, char. Polynom gibt die Lsgen: +i, -i.
Dementsprechend ist [mm] u_H [/mm] = [mm] c_1*cos(x) [/mm] + [mm] c_2*sin(x).
[/mm]
Wenn ich aber [mm] u_S [/mm] mit dem ansatz a*cos(X) + b*sin(x) rechne, komme ich auf sin(x)=0 --> Bullshit. Da kann ich keinen Koeffizientenvergleich machen. Kann mir jemand helfen?
|
|
| |
|
Hallo Isildurs_Fluch,
> Hallo erstmal,
>
> eigentlich bekomme ich das gebacken aber diese eigentlich
> simple Aufgabe lässt mich an meinen Fähigkeiten zweifeln:
>
> u'' + u = sin(t), wobei u(t).
>
> Also, char. Polynom gibt die Lsgen: +i, -i.
>
> Dementsprechend ist [mm]u_H[/mm] = [mm]c_1*cos(x)[/mm] + [mm]c_2*sin(x).[/mm]
>
> Wenn ich aber [mm]u_S[/mm] mit dem ansatz a*cos(X) + b*sin(x)
> rechne, komme ich auf sin(x)=0 --> Bullshit. Da kann ich
> keinen Koeffizientenvergleich machen. Kann mir jemand
> helfen?
Probiere es mit dem Ansatz:
[mm]u_S\;=\;a\;t\;\sin\;t\;+\;b\;t\;\cos\;t[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ok, vielen Dank! Aus welchen Gründen funktioniert dieser Ansatz und der andere nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo Isildurs_Fluch,
Weil sin(x) Lösung der homogenen DGL ist. Das nennt man Resonanz. Dabei mußt Du den normalen Ansatz mit [mm] x^k [/mm] multiplizieren wobei k die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Hier wäre 0 [mm] \pm [/mm] i die Nulstelle zu sin(x)
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
