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DGL 2. Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 19.09.2012
Autor: sardelka

Hallo,

DGL 2. Ordnung:

[mm] x^{2}y'' [/mm] - 5xy' + 10y = [mm] 2x^{3} [/mm] + 5x

Ich habe folgendes getan: Substituiert: x = [mm] e^{t} [/mm]
u = y(x)
u' = x*y'(x)
u'' = xy'(x) + [mm] x^{2}y''(x) [/mm]

u'' - xy' - 5xy' + 10u = 0
u'' - 6u' + 10u = 0
[mm] u_{1,2} [/mm] = 3 [mm] \pm \wurzel{-1} [/mm] = 3 [mm] \pm [/mm] i

[mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] e^{3x}cos(x) [/mm] + [mm] e^{3x}sin(x) [/mm]

Hat jemand dagegen was einzuwenden?


Dann weiter zur partikulären Lösung. Da weiß ich nicht, welchen Ansatz ich nehmen soll.

[mm] y_{p}= Ce^{x} [/mm] + [mm] De^{x} [/mm]    ???

Vielen Dank im Voraus
LG

        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mi 19.09.2012
Autor: teo


> Hallo,
>
> DGL 2. Ordnung:
>  
> [mm]x^{2}y''[/mm] - 5xy' + 10y = [mm]2x^{3}[/mm] + 5x
>  
> Ich habe folgendes getan: Substituiert: x = [mm]e^{t}[/mm]

Du musst hier aufpassen. Denn bei Rücksubstitution erhälst du: $t = ln(x)$, d.h. du musst die Fälle $x<0$ und $x>0$ unterscheiden, es sei denn es ist (meistens ist das bei den Aufgaben so) $x>0$ vorausgesetzt. Also bei $x<0$ musst du $x = [mm] -e^t$ [/mm] substituieren und dann genauso weiter.

>  u = y(x)
>  u' = x*y'(x)
>  u'' = xy'(x) + [mm]x^{2}y''(x)[/mm]

Also hier würde ich der Übersichtlichkeit halber immer [mm] y(e^t) [/mm] schreiben. Denn unten kommst du durcheinander...

> u'' - xy' - 5xy' + 10u = 0
>  u'' - 6u' + 10u = 0
>  [mm]u_{1,2}[/mm] = 3 [mm]\pm \wurzel{-1}[/mm] = 3 [mm]\pm[/mm] i
>  
> [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]e^{3x}cos(x)[/mm] + [mm]e^{3x}sin(x)[/mm]

Das ist jetzt eben falsch. Es ist $u: [mm] \IR \to \IR$; [/mm] $t [mm] \mapsto e^{3t}cos(t) [/mm] + [mm] e^{3t}sin(t)$ [/mm] Lösung von $u'' - 6u' + 10u = 0$.

Nun musst du rücksubstituieren: $ t = ln(x)$. ($x>0$)  
Dann erhälst du eine Lösung $y: [mm] ]0,\infty[ \to \IR$ [/mm]

> Dann weiter zur partikulären Lösung. Da weiß ich nicht,
> welchen Ansatz ich nehmen soll.

Betrachte einfach die rechte Seite einzeln. Polynomansatz liefert dir das Ergebnis.

Grüße

Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Mi 19.09.2012
Autor: sardelka

Ja, das mit den t´s und x´s bringe ich immer durcheinander. Muss da aufpassen.
Habe die Lösung aber raus. Vielen vielen Dank

Bezug
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