DGL 2. Ordnung Feder-Masse-Sys < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:56 Di 08.01.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Kette von n Massen, die durch Federn gekoppelt sind. (Die Federn am linken bzw. rechten Rand sind an einer festen Wand befestigt)
[mm] y_k''=c*y_{k-1}-2*c*y_k+c*y_{k+1}
[/mm]
k=1,..,n
Randbedingung [mm] y_0=y_{n+1}=0
[/mm]
a) Gesucht sind alle Funktionen y: [mm] \IR \to \IR^n, [/mm] die den obigen Bedingungen genügen. Welche Dimension hat der Lösungsraum ?
b) Der Ansatz [mm] y_k(t)=exp(\pm i*\omega*t \pm i*\alpha*k)=exp(\pm i*\omega*t)*exp(\pm i*\alpha*k)
[/mm]
c) Die Linearkombination [mm] y_k(t) [/mm] = [mm] exp(\pm i*\omega*t)*sin(\alpha*k) [/mm] kann zudem die Randbedingung erfüllen: Wie muss hierzu a gewählt werden?
d) Gewinnen Sie hieraus eine reelle Basis des Lösungsraumes.
Skizzieren Sie die Lösungen für n = 7 als stehende Wellen.
e) Vergleich: Schreiben Sie die Gleichungen als ein DGSystem y' = A y erster
Ordnung und bestimmen Sie eine Basis von Eigenvektoren der Matrix A. |
Hallo,
Da ja in dem Feder-Masse-System jede Masse an je zwei Federn aufgehängt sind, und sich die k-te Feder durch die DGL [mm] y_k''=c*y_{k-1}-2*c*y_k+c*y_{k+1} [/mm] beschreiben lässt, gibt es n+1 DGL um ein System mit n Massen zu beschreiben. Demnach ist die Dimension des Lösungsraums n+1. Das müsste soweit passen ?
Nun aber zu Aufgabenteil b)
Ich habe mir gedacht ich leite den gegebenen Ansatz zweimal je nach t ab und setze dies dann in meine Ausgangsgleichung [mm] y_k''= c*y_{k-1}-2*c*y_k+c*y_{k+1} [/mm] ein. Das bringt mich allerdings auf kein brauchbares Ergebnis für [mm] \omega [/mm] bzw [mm] \alpha.
[/mm]
Die Randbedingungen sind in diesem Aufgabenteil mit diesem Ansatz anscheinend nicht gültig, was mir auch nicht wirklich weiter hilft.
Wie kann ich nun hier meinen Ansatz richtig verwerten um [mm] \omega [/mm] und [mm] \alpha [/mm] zu bestimmen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 10.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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