matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL 2. Ordnung Variablentrenng
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung Variablentrenng
DGL 2. Ordnung Variablentrenng < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Do 25.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

y '' = x*cos(x)    

durch Variablentrennung.


2. Berechnen Sie die spezielle Lösung der DGL für das Anfangswertproblem

y(0) = 1  und y ' (0) = 0.



Moin Moin!

Hmm... also

y '' = x*cos(x)    

[mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] = x*cos(x)

[mm] \integral_{}^{}{ 1*d^2y} [/mm]  = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x} [/mm]

Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und statt [mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] zunächst [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] zu verwenden???

[mm] \integral_{}^{}{ 1*dy} [/mm]  = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*dx} [/mm]


y ' = x*cos(x) + cos(x)  +C    mit partieller Integration


und nochmal


[mm] \integral_{}^{}y [/mm] ' dy   = [mm] \integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx} [/mm]

y = sin(x) +C


Ist das soweit richtig? Ist das die allgemeine Lösung?


zu 2.)

y(0) = 1    sin(0) + [mm] C_1 [/mm] = 1   =>  [mm] C_1 [/mm] = 1

y '(0) = 0     0*cos(0) +cos(0) + [mm] C_2 [/mm] = 1    [mm] C_2 [/mm] = -1


Spezielle Lösung

y = sin(x) + 1

y ' = x*cos(x) +cos(x) -1  


???












        
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 25.10.2018
Autor: fred97


> 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>  
> y '' = x*cos(x)    
>
> durch Variablentrennung.

Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.

>  
>
> 2. Brechnen sie die spezielle Lösung der DGL für das
> Anfangswertproblem
>  
> y(0) = 1  und y ' (0) = 0.
>  Moin Moin!
>  
> Hmm... also
>  
> y '' = x*cos(x)    
>
> [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] = x*cos(x)
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*d^2y}[/mm]  = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x}[/mm]
>

Du wirfst hier mit Symbolen um Dich, von denen ich nicht glaube , dass sie Dir klar sind !

> Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und
> statt [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] zunächst [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] zu
> verwenden???
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*dy}[/mm]  = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*dx}[/mm]
>
>
> y ' = x*cos(x) + cos(x)  +C    mit partieller Integration

Das stimmt nicht ! Wie kommst Du darauf ???

>  
>
> und nochmal
>
>
> [mm]\integral_{}^{}y[/mm] ' dy   = [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx}[/mm]
>
> y = sin(x) +C
>  
>
> Ist das soweit richtig?

Nein ! Aber das kannst Du doch sofort durch eine Probe nachrechnen

> Ist das die allgemeine Lösung?

Nein.

Wenn Du $y '' = x*cos(x)   $  zweimal partiell integrierst (aber richtig !) solltest Du erhalten

  $y(x)=2 [mm] \sin [/mm] x -x [mm] \cos [/mm] x+cx+d$

>  
>
> zu 2.)
>  
> y(0) = 1    sin(0) + [mm]C_1[/mm] = 1   =>  [mm]C_1[/mm] = 1

>  
> y '(0) = 0     0*cos(0) +cos(0) + [mm]C_2[/mm] = 1    [mm]C_2[/mm] = -1
>
>
> Spezielle Lösung
>  
> y = sin(x) + 1
>  
> y ' = x*cos(x) +cos(x) -1  
>
>
> ???
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh


> > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung
>  >  
> > y '' = x*cos(x)    
> >
> > durch Variablentrennung.
>  
> Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.

Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???


> > y '' = x*cos(x)    

> Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm]  zweimal partiell integrierst
> (aber richtig !) solltest Du erhalten
>  
> [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]


Ich fange nochmal von vorne an.

y '' = x*cos(x)


1. Integration zu y'

[mm] \bruch{dy'}{dx} [/mm] = x*cos(x)

dy' = x*cos(x)*dx

[mm] \integral_{}^{}{dy'} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)dx} [/mm]

rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle

u = x     v' = cos(x)

u' = 1    v = sin(x)


y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) - [mm] \integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2 [/mm]

y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2 [/mm]  | - [mm] C_1 [/mm]

y' = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1 [/mm]


2. Integration zu y

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1 [/mm]

dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1)*dx [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{ dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx} [/mm]


Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller Integration wähle ich

u = x    v' = sin(x)

u' = 1   v = - cos(x)

y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) - [mm] \integral_{}^{}{-cos(x) dx} [/mm] +sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]

y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]

y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4-C_3 [/mm]


zu 2.

Wenn das stimmt... wie würde man dann das Anfangswertproblem lösen?
Muss ich dann [mm] C_1, C_2, C_3 [/mm] und [mm] C_4 [/mm] bestimmen?

y(0) = 1

1 =  -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm] +(C_2-C_1)*0 [/mm] + [mm] C_4-C_3 [/mm]

[mm] C_4-C_3 [/mm] = 1


y '(0) = 0

0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm] +C_2-C_1 [/mm]

[mm] C_2-C_1 [/mm] = -1

[mm] y_p [/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1


???

















Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung Variablentrenng: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 So 28.10.2018
Autor: notinX

Hallo hase-hh,

> > > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > > Differentialgleichung
>  >  >  
> > > y '' = x*cos(x)    
> > >
> > > durch Variablentrennung.
>  >  
> > Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> > Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.
>  
> Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???
>  
>
> > > y '' = x*cos(x)    
>
> > Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm]  zweimal partiell integrierst
> > (aber richtig !) solltest Du erhalten
>  >  
> > [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]
>  
>
> Ich fange nochmal von vorne an.
>
> y '' = x*cos(x)
>
>
> 1. Integration zu y'
>
> [mm]\bruch{dy'}{dx}[/mm] = x*cos(x)
>  
> dy' = x*cos(x)*dx
>  
> [mm]\integral_{}^{}{dy'}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)dx}[/mm]
>  
> rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle
>  
> u = x     v' = cos(x)
>  
> u' = 1    v = sin(x)
>
>
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) - [mm]\integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2[/mm]

auf der rechten Seite hast Du noch nicht integriert, also gibts da auch keine Konstante [mm] $C_2$. [/mm]

>  
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2[/mm]  | - [mm]C_1[/mm]
>  
> y' = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]

Eine Konstante [mm] $c:=C_2-C_1$ [/mm] reicht:
[mm] $y'=x\sin x+\cos [/mm] x +c$

>  
>
> 2. Integration zu y
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>
> dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1)*dx[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{ dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx}[/mm]

[mm] $\int \,\mathrm{d}y=\int \left(x\sin x+cos x +c\right) \,\mathrm{d}x$ [/mm]

>  
>
> Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller
> Integration wähle ich
>
> u = x    v' = sin(x)
>  
> u' = 1   v = - cos(x)
>  
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) - [mm]\integral_{}^{}{-cos(x) dx}[/mm] +sin(x)
> [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]

Auch hier reicht eine Integrationskonstante:
[mm] $y=2\sin x-x\cos [/mm] x +cx+d$


>  
>
> zu 2.
>  
> Wenn das stimmt... wie würde man dann das
> Anfangswertproblem lösen?
>  Muss ich dann [mm]C_1, C_2, C_3[/mm] und [mm]C_4[/mm] bestimmen?
>  
> y(0) = 1
>
> 1 =  -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm]+(C_2-C_1)*0[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]
>  
> [mm]C_4-C_3[/mm] = 1
>  
>
> y '(0) = 0
>  
> 0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>  
> [mm]C_2-C_1[/mm] = -1
>
> [mm]y_p[/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1
>
>
> ???

[ok]
Jetzt sollte auch klar werden warum zwei Integrationskonstanten reichen.

Gruß,

notinX

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]