DGL 2. Ordnung Variablentrenng < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Do 25.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
y '' = x*cos(x)
durch Variablentrennung.
2. Berechnen Sie die spezielle Lösung der DGL für das Anfangswertproblem
y(0) = 1 und y ' (0) = 0. |
Moin Moin!
Hmm... also
y '' = x*cos(x)
[mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] = x*cos(x)
[mm] \integral_{}^{}{ 1*d^2y} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x} [/mm]
Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und statt [mm] \bruch{d^2y}{d^2x} [/mm] zunächst [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] zu verwenden???
[mm] \integral_{}^{}{ 1*dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)*dx} [/mm]
y ' = x*cos(x) + cos(x) +C mit partieller Integration
und nochmal
[mm] \integral_{}^{}y [/mm] ' dy = [mm] \integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx} [/mm]
y = sin(x) +C
Ist das soweit richtig? Ist das die allgemeine Lösung?
zu 2.)
y(0) = 1 sin(0) + [mm] C_1 [/mm] = 1 => [mm] C_1 [/mm] = 1
y '(0) = 0 0*cos(0) +cos(0) + [mm] C_2 [/mm] = 1 [mm] C_2 [/mm] = -1
Spezielle Lösung
y = sin(x) + 1
y ' = x*cos(x) +cos(x) -1
???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Do 25.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> y '' = x*cos(x)
>
> durch Variablentrennung.
Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.
>
>
> 2. Brechnen sie die spezielle Lösung der DGL für das
> Anfangswertproblem
>
> y(0) = 1 und y ' (0) = 0.
> Moin Moin!
>
> Hmm... also
>
> y '' = x*cos(x)
>
> [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] = x*cos(x)
>
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*d^2y}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*d^2x}[/mm]
>
Du wirfst hier mit Symbolen um Dich, von denen ich nicht glaube , dass sie Dir klar sind !
> Oder ist es hier geschickter zunächst y ' zu bilden und
> statt [mm]\bruch{d^2y}{d^2x}[/mm] zunächst [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] zu
> verwenden???
>
> [mm]\integral_{}^{}{ 1*dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)*dx}[/mm]
>
>
> y ' = x*cos(x) + cos(x) +C mit partieller Integration
Das stimmt nicht ! Wie kommst Du darauf ???
>
>
> und nochmal
>
>
> [mm]\integral_{}^{}y[/mm] ' dy = [mm]\integral_{}^{}{(x*cos(x) + cos(x)) dx}[/mm]
>
> y = sin(x) +C
>
>
> Ist das soweit richtig?
Nein ! Aber das kannst Du doch sofort durch eine Probe nachrechnen
> Ist das die allgemeine Lösung?
Nein.
Wenn Du $y '' = x*cos(x) $ zweimal partiell integrierst (aber richtig !) solltest Du erhalten
$y(x)=2 [mm] \sin [/mm] x -x [mm] \cos [/mm] x+cx+d$
>
>
> zu 2.)
>
> y(0) = 1 sin(0) + [mm]C_1[/mm] = 1 => [mm]C_1[/mm] = 1
>
> y '(0) = 0 0*cos(0) +cos(0) + [mm]C_2[/mm] = 1 [mm]C_2[/mm] = -1
>
>
> Spezielle Lösung
>
> y = sin(x) + 1
>
> y ' = x*cos(x) +cos(x) -1
>
>
> ???
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 27.10.2018 | | Autor: | hase-hh |
> > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichung
> >
> > y '' = x*cos(x)
> >
> > durch Variablentrennung.
>
> Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.
Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???
> > y '' = x*cos(x)
> Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm] zweimal partiell integrierst
> (aber richtig !) solltest Du erhalten
>
> [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]
Ich fange nochmal von vorne an.
y '' = x*cos(x)
1. Integration zu y'
[mm] \bruch{dy'}{dx} [/mm] = x*cos(x)
dy' = x*cos(x)*dx
[mm] \integral_{}^{}{dy'} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{x*cos(x)dx}
[/mm]
rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle
u = x v' = cos(x)
u' = 1 v = sin(x)
y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) - [mm] \integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2
[/mm]
y' + [mm] C_1 [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2 [/mm] | - [mm] C_1
[/mm]
y' = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1
[/mm]
2. Integration zu y
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1 [/mm]
dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm] +C_2-C_1)*dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{ dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx}
[/mm]
Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller Integration wähle ich
u = x v' = sin(x)
u' = 1 v = - cos(x)
y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) - [mm] \integral_{}^{}{-cos(x) dx} [/mm] +sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]
y + [mm] C_3 [/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4 [/mm]
y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm] +(C_2-C_1)*x [/mm] + [mm] C_4-C_3
[/mm]
zu 2.
Wenn das stimmt... wie würde man dann das Anfangswertproblem lösen?
Muss ich dann [mm] C_1, C_2, C_3 [/mm] und [mm] C_4 [/mm] bestimmen?
y(0) = 1
1 = -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm] +(C_2-C_1)*0 [/mm] + [mm] C_4-C_3
[/mm]
[mm] C_4-C_3 [/mm] = 1
y '(0) = 0
0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm] +C_2-C_1
[/mm]
[mm] C_2-C_1 [/mm] = -1
[mm] y_p [/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 28.10.2018 | | Autor: | notinX |
Hallo hase-hh,
> > > 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> > > Differentialgleichung
> > >
> > > y '' = x*cos(x)
> > >
> > > durch Variablentrennung.
> >
> > Welcher Vollpfosten hat sich das ausgedacht ? Durch
> > Variablentrennung..., so ein Schwachsinn.
>
> Weiß ich nicht... vllt Prof. H. ???
>
>
> > > y '' = x*cos(x)
>
> > Wenn Du [mm]y '' = x*cos(x) [/mm] zweimal partiell integrierst
> > (aber richtig !) solltest Du erhalten
> >
> > [mm]y(x)=2 \sin x -x \cos x+cx+d[/mm]
>
>
> Ich fange nochmal von vorne an.
>
> y '' = x*cos(x)
>
>
> 1. Integration zu y'
>
> [mm]\bruch{dy'}{dx}[/mm] = x*cos(x)
>
> dy' = x*cos(x)*dx
>
> [mm]\integral_{}^{}{dy'}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{x*cos(x)dx}[/mm]
>
> rechte Seite mit partieller Integration. Ich wähle
>
> u = x v' = cos(x)
>
> u' = 1 v = sin(x)
>
>
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) - [mm]\integral_{}^{}{1*sin(x) dx} +C_2[/mm]
auf der rechten Seite hast Du noch nicht integriert, also gibts da auch keine Konstante [mm] $C_2$.
[/mm]
>
> y' + [mm]C_1[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2[/mm] | - [mm]C_1[/mm]
>
> y' = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]
Eine Konstante [mm] $c:=C_2-C_1$ [/mm] reicht:
[mm] $y'=x\sin x+\cos [/mm] x +c$
>
>
> 2. Integration zu y
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>
> dy = (x*sin(x) + cos(x) [mm]+C_2-C_1)*dx[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{ dy}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{(x*sin(x) + cos(x) +C_2-C_1)}{dx}[/mm]
[mm] $\int \,\mathrm{d}y=\int \left(x\sin x+cos x +c\right) \,\mathrm{d}x$
[/mm]
>
>
> Für den Baustein auf der rechten Seite mit partieller
> Integration wähle ich
>
> u = x v' = sin(x)
>
> u' = 1 v = - cos(x)
>
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) - [mm]\integral_{}^{}{-cos(x) dx}[/mm] +sin(x)
> [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y + [mm]C_3[/mm] = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4[/mm]
>
> y = = -x*cos(x) + 2*sin(x) [mm]+(C_2-C_1)*x[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]
Auch hier reicht eine Integrationskonstante:
[mm] $y=2\sin x-x\cos [/mm] x +cx+d$
>
>
> zu 2.
>
> Wenn das stimmt... wie würde man dann das
> Anfangswertproblem lösen?
> Muss ich dann [mm]C_1, C_2, C_3[/mm] und [mm]C_4[/mm] bestimmen?
>
> y(0) = 1
>
> 1 = -0*cos(0) + 2*sin(0) [mm]+(C_2-C_1)*0[/mm] + [mm]C_4-C_3[/mm]
>
> [mm]C_4-C_3[/mm] = 1
>
>
> y '(0) = 0
>
> 0 = 0*sin(x) + cos(0) [mm]+C_2-C_1[/mm]
>
> [mm]C_2-C_1[/mm] = -1
>
> [mm]y_p[/mm] = = -x*cos(x) + 2*sin(x) -x + 1
>
>
> ???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt sollte auch klar werden warum zwei Integrationskonstanten reichen.
Gruß,
notinX
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