DGL 2 Ordnung ansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Mo 09.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | zu lösen ist diese DGL:
y'' + 3y' = 3 |
Ergebniss habe ich aber komme nicht dahin, wäre super wenn einer einen ansatz zeigen würde.
Lösung:
$y = [mm] -\bruch{1}{3}e^{-3x}*C1 [/mm] + x + C2$
wir hatten solche dgl behandelt:
$y'' + ay' +by = 0$
und mich verwiert das hier "by" fehlt.
Normal geht man ja so vor mit dem komplexen Ansatz:
$y'' + 3y' = 3$ oder $ [mm] \bruch{1}{3}y'' [/mm] + y' = 0$
[mm] $y=e^{\lambda * x}$
[/mm]
$y'= [mm] \lambda [/mm] * [mm] e^{\lambda * x}$ [/mm]
$y''= [mm] \lambda^{2} [/mm] * [mm] e^{\lambda * x}$
[/mm]
in die DGL einsetzen:
$ [mm] \bruch{1}{3} \lambda^{2} [/mm] * [mm] e^{\lambda * x} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] e^{\lambda * x} [/mm] =0$
$ [mm] e^{\lambda * x} (\bruch{1}{3} \lambda^{2} [/mm] * + [mm] \lambda [/mm] ) =0$ oder $ [mm] \bruch{1}{3}e^{\lambda * x} (\underbrace{ \lambda^{2} + 3 * \lambda }_{=0} [/mm] ) =0$
hier kann ich nun [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] bestimmen (p-q Formel)
und genau an dieser stelle hat man verschieden Ansätze gewählt
wenn [mm] $a^{2}+4b$ [/mm] >,= oder < 0 ist ...
[mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}+\bruch{3}{2} [/mm] = 0$ , [mm] $\lambda_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2}=-3$ [/mm]
dann wäre mein [mm] $y_{1} [/mm] = [mm] e^{\lambda_{1} * x} =e^{0 * x} [/mm] = 1 $ und [mm] $y_{2} [/mm] = [mm] e^{\lambda_{2} * x}=e^{-3 x}$
[/mm]
und $y(x) = C1 * [mm] y_{1} [/mm] + C2 [mm] *y_{2}$ [/mm] = $C1 * 1 + C2 [mm] *e^{-3 x}$
[/mm]
wo ich nicht mehr weiter komm :-(
S.O.S. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Mo 09.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch die homogene Dgl. vollständig richtig gelöst!
Dir fehlt nur eine spezielle lösung der inhomogenen. und da sieht man leicht , dass y''=0 y'=A y=A*x ein möglicher Ansatz ist, A zu bestimmen durch einsetzen in die dgl.(oder direkt zu sehen): A=1
fertig.
Die Lösung [mm] -1/3C1e^{-3x} [/mm] + C2 + x ist dieselbe, ob du was -1/3C1 nennst oder C1 ist egal. du kannst auch 7C2 statt C2 schreiben und hast dieselbe Lösung!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mo 09.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo leduart,
muss ich mal morgen darüber pfeilen
danke für die Hilfe
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