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| Aufgabe | Lösen Sie das AWP
y'' + siny = 0 mit y(0) = [mm] \bruch{1}{10}, [/mm] y'(0) = 0
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Hallo an alle,
Also mein Problem ist folgendes: Ich weiß nicht wie man diese Art der DGL angeht, da wir bisher nur DGL 1. Ordnung und die dazugehörigen Existenz-und Eindeutigkeitssätze (Picard-Lindelöf & Peano) hatten und DGLs mit n-ter Ordunung , die man in Systeme von DGLs erster Ordnung umwandelt.
Mein erster Schritt war genau diese Umwandlung, d.h. wenn man [mm] y_{1} [/mm] = y setzt und [mm] y_{2} [/mm] = y', dann führt das zu:
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] -siny_{1}.
[/mm]
Jetzt würde ich mit sukzessiver Approximation vorgehen, also [mm] y_{0}(x) [/mm] = [mm] \vektor{1/10 \\ 0} [/mm] und [mm] y_{1}(x) [/mm] =
[mm] \vektor{1/10 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{\integral_{}^{} 0 dt \\ \integral_{}^{} -sin(1/10) dt} [/mm] = [mm] \vektor{1/10 \\ -xsin(1/10)}.
[/mm]
Meine 1. Frage ist, ob man die sukzessive Approximation bei Systemen so machen würde? Meine zweite Frage bezieht sich auf ein Problem was in den nächsten Schritten auftritt und mich vermuten lässt, dass ich es nicht richtig mache, nämlich das ein Integral zu bilden ist über [mm] -sin(1/10-0.5x^{2}sin(1/10)). [/mm] Was mache ich konkret falsch?
Ich bin über jede Hilfe dankbar.
Grüße, Steffen
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Warum so kompliziert? Die DGL kannst du doch auch durch Trennung der Variablen lösen:
[mm]y^{''}= \bruch{d^2 y}{d^2 x} =-sin(y)[/mm]
[mm]\bruch{d^2 y}{sin(y)} = -d^2x[/mm]
Zweimal integrieren und fast fertig. Es sollten dann 2 Konstanten auftauchen, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Das war's.
PS: Das Integral kann man nachschlagen oder sich ![[]](/images/popup.gif) hier berechnen lassen.
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> Warum so kompliziert? Die DGL kannst du doch auch durch
> Trennung der Variablen lösen:
Ich bin davon ausgegangen, dass man das nicht machen darf.
Also so?
> [mm] \bruch{d^2 y}{sin(y)} [/mm] = -d^2x
[mm] \integral{}^{}(\integral_{}^{} \bruch{1}{siny}dy)dy [/mm] = [mm] \integral{}^{} (\integral_{}^{} [/mm] -x)dx)dx
->
[mm] \integral{}^{}ln(tan(\bruch{y}{2})dy [/mm] = [mm] \integral{}^{}(-0.5x^{2}+C_{1})dx
[/mm]
Oder muss ich vor dem nächsten Integral nach y umstellen?
Grüße, Steffen
>
> Zweimal integrieren und fast fertig. Es sollten dann 2
> Konstanten auftauchen, die durch die Anfangsbedingungen
> bestimmt werden. Das war's.
>
> PS: Das Integral kann man nachschlagen oder sich
> hier berechnen
> lassen.
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Leduart hat wohl recht, ich hab nochmal darüber nachgedacht. Vielleicht kann jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:52 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo generation...x
so kann man leider nicht mit DGL zweiter Ordnung um gehen!
[mm] \bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] ist kein Bruch, es ist gans sicher nicht
[mm] (\bruch{dx}{dy})^2
[/mm]
mach dir das klar.
Gruss leduart.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffen
Ich weiss nicht, ob du Physik kannst, wenn ja, dann kannst du das vielleicht als die DGL für das echte Fadenpendel erkennen.
Dann ist es naheliegend den Energiesatz einzusetzen.
Rein mathematisch gehst du so vor:
Multipliziere die DGL mit y', dann integriere einmal
d.h. verwende (y'^2)'=2y'y''
Damit kommst du physikalisch auf en Energiesatz, mathematisch auf ne DGL. erster Ordnung, die du dann integrieren kannst. Allerdings sind die "Lösungen" sog. elliptische Funktionen, d.h. die Integrale die auftreten kannst du nicht mit dem bekannten Funktionsvorrat lösen.
Oder sollt ihr das numerisch machen?
(für kleine Anfangswerte kannst du [mm] siny\approx [/mm] y setzen und bekommst die normale Schwingungsgleichung.)
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Di 06.11.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Leduart,
ich habe eigentlich die Aufgabe zu beweisen, dass man y'' = -siny durch y'' = -y für kleine Anfangswerte gut approximieren kann. Das habe ich auch schon, ich wollte mir das nur nochmal 'live' veranschaulichen, indem ich die DGL normal löse (anscheinend blöde Idee). Ich dachte das geht einfach, nichts desto trotz werde ich deinen Vorschlag heute abend mal probieren.
Ich habe die Frage aber auch ins Forum gestellt, da in meinem gesamtem Skript nirgendwo ein Beispiel für die Lösung solcher Fundamentalsysteme über Picard-Lindelöf beschrieben ist und ich wissen wollte, ob denn der Ansatz, so wie ich ihn gemacht habe, generell richtig ist. Im Netz findet man nur Beispiele zu Gleichungen mit einer Matrix A, aber das hatte ich noch nicht.
Trotzdem danke für eure Tips,
Grüße, Steffen
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Noch 'ne andere Idee, um die Scharte von vorhin wieder etwas auszuwetzen (merken - ich soll es nachdenken, dann tippen): Hattest du es schon mal mit einer Taylorentwicklung um 0 versucht? Vielleicht kommt man damit weiter...
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