matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL 2ter Ordnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2ter Ordnung
DGL 2ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL 2ter Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 So 13.12.2009
Autor: Unk

Aufgabe
Gegeben ist [mm] y''(t)+\omega_{0}^{2}y(t)=E\m{sin}(\omega [/mm] t).
(i) Ermitteln Sie die Lösung, wenn [mm] \omega\neq \omega_{0}. [/mm]
(ii) Ermitteln Sie die Lösung, wenn [mm] \omega=\omega_{0}. [/mm]

Hallo,

ich hab schon etwas rumgerechnet.
Zum ersten Teil folgendes:
Die Lösung des homogenen Teils liefert mir:
[mm] y_{1}(t)=\mbox{sin}(\omega_{0}t) [/mm] und [mm] y_{2}(t)=\mbox{cos}(\omega_{0}t). [/mm]
Dann kommt der etwas kompliziertere Teil der Lösung des inhomogenen Teils:
Variation der Konstanten liefert mir: [mm] C_{1}(t)&=&-\int\frac{\mbox{cos}(\omega_{0}t)E\mbox{sin}(\omega t)}{-\omega_{0}}dt\\&=&\frac{E}{\omega_{0}}\int\mbox{cos}(\omega_{0}t)\mbox{sin}(\omega [/mm] t)dt und [mm] C_{2}(t)&=&\int\frac{\mbox{sin}(\omega_{0}t)E\mbox{sin}(\omega t)}{-\omega_{0}}dt\\&=&-\frac{E}{\omega_{0}}\int\mbox{sin}(\omega_{0}t)\mbox{sin}(\omega [/mm] t)dt.
Stimmts so weit? Sollte ich die integrale noch irgendwie ausrechnen?

Im zweiten Teil läuft es auf das gleiche hinaus, nur dass sich die Lösung des speziellen Teils etwas vereinfacht, da [mm] \omega=\omega_0. [/mm]


        
Bezug
DGL 2ter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 So 13.12.2009
Autor: Salamence

Ja, so habe ich es auch, du solltest es allerdings noch integrieren. Geht am besten, wenn man die Additionstheoreme verwendet.
[mm] cos(\omega_{0}*t)*sin(\omega*t)=\bruch{1}{2}*(sin(\omega*t+\omega_{0}*t)+sin(\omega*t-\omega_{0}*t) [/mm]
[mm] sin(\omega*t)*sin(\omega_{0}*t)=\bruch{1}{2}*(cos(\omega*t-\omega{0}*t)-cos(\omega*t+\omega_{0}*t) [/mm]
Beim zweiten Teil ist es im Prinzip einfacher, allerdings find ich die Integration da schon etwas schwerer.

Bezug
                
Bezug
DGL 2ter Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 So 13.12.2009
Autor: Unk

Ok das mit dem Integrieren akzeptiere ich, aber trotzdem steht dann am Ende bei mir ein ziemlich langer Term als Gesamtlösung, oder habe ich was übersehen und es kürzt sich so gut wie alles weg?
Man bekommt dann für [mm] C_{1}(t)=&-\frac{1}{2}\frac{E}{\omega_{0}}\cdot\left[\frac{\mbox{cos}((\omega+\omega_{0})t)}{\omega+\omega_{0}}+\frac{\mbox{cos}((\omega-\omega_{0})t)}{\omega-\omega_{0}}\right] [/mm] und
[mm] C_{2}(t)=-\frac{1}{2}\frac{E}{\omega_{0}}\left[\frac{\mbox{sin}((\omega-\omega_{0})t)}{\omega-\omega_{0}}-\frac{\mbox{sin}((\omega+\omega_{0})t)}{\omega+\omega_{0}}\right]. [/mm]

Gibts da noch eine extreme Vereinfachung?
Mal abgesehen davon, dass ich langsam keine Lust mehr hab daran rumzurechnen...

Bezug
                        
Bezug
DGL 2ter Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 So 13.12.2009
Autor: Salamence

Man könnte das alles (die allgemeine Lösung) auf den gleichen Nenner bringen, nämlich auf [mm] \omega^{2}-\omega_{0}^{2} [/mm] aber wirklich kürzer wird es dadurch nicht. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, stünde dann
[mm] -sin(\omega*t)*E+(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})*C_{2}*cos(\omega_{0}*t)+(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})*C_{1}*sin(\omega_{0}*t) [/mm] im Zähler.
Vergleichsweise ist das doch recht kurz...
Besonders wenn ich daran denke, was mir das CAS als Lösung ausgespuckt hat.
Ich schreibs aber auch nicht vereinfacht auf, dann muss man ja noch die ganzen Umformungen legitimieren.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]