DGL 3.Ordnung Partikuläre Lsg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] y'''+3y''+4y'+2y=xe^{x} [/mm] |
Hallo,
Ich habe hier Probleme mit der partikulären Lösung.
Die homogene hab ich schon:
[mm] y_{hom} [/mm] = [mm] C_{1}e^{-x} [/mm] + [mm] C_{2}e^{-x}cos(x) [/mm] + [mm] C_{3}e^{-x}sin(x)
[/mm]
Jetzt hab ich versucht mit der Ansatzmethode zu arbeiten und bin nur durch viel herumprobieren auf das richtige Ergebnis gekommen, kann mir aber nicht erklären warum diese Vorgangsweise richtig ist.
[mm] y_{p} [/mm] = (Ax+B) [mm] e^{x}
[/mm]
Das dann 3 mal abgeleitet und in die Grundform eingesetzt ergibt [mm] A=\bruch{1}{10} B=\bruch{-13}{100}
[/mm]
und die Gesamtlösung ist dann:
[mm] y_{all} [/mm] = [mm] C_{1}e^{-x} [/mm] + [mm] C_{2}e^{-x}cos(x) [/mm] + [mm] C_{3}e^{-x}sin(x) [/mm] + [mm] e^{x}(\bruch{1}{10}x [/mm] - [mm] \bruch{13}{100})
[/mm]
In unserem Skriptum steht aber dass man bei der Ansatzmethode folgendermassen vorgeht:
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] x^{\mu(\lambda)}q(x)e^{\lambda x}
[/mm]
q(x) ist ein Polynom vom gleichen Grad wie die Störfunktion.
was dann so aussehen würde:
[mm] y_{p} [/mm] = [mm] x(Ax+B)e^{-x} [/mm]
und wenn man das 3 mal ableitet und einsetzt kommt was ganz anderes raus.
Kann mir das jemand erklären?
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Hallo Wieselwiesel,
> [mm]y'''+3y''+4y'+2y=xe^{x}[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe hier Probleme mit der partikulären Lösung.
> Die homogene hab ich schon:
> [mm]y_{hom}[/mm] = [mm]C_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]C_{2}e^{-x}cos(x)[/mm] +
> [mm]C_{3}e^{-x}sin(x)[/mm]
> Jetzt hab ich versucht mit der Ansatzmethode zu arbeiten
> und bin nur durch viel herumprobieren auf das richtige
> Ergebnis gekommen, kann mir aber nicht erklären warum
> diese Vorgangsweise richtig ist.
>
> [mm]y_{p}[/mm] = (Ax+B) [mm]e^{x}[/mm]
Da die Störfunktion [mm]x*e^{x}[/mm] oder ein Teil von ihr,
keine Lösung der homogenen DGL ist, macht man den Ansatz
wie die Störfunktion geartet ist.
Die Störfunktion ist hier ein Produkt aus einem linearen Polynom
und einer Exponentialfunktion, daher wird der Ansatz
[mm]y_{p}[/mm] = (Ax+B) [mm]e^{x}[/mm]
gewählt.
> Das dann 3 mal abgeleitet und in die Grundform eingesetzt
> ergibt [mm]A=\bruch{1}{10} B=\bruch{-13}{100}[/mm]
> und die
> Gesamtlösung ist dann:
> [mm]y_{all}[/mm] = [mm]C_{1}e^{-x}[/mm] + [mm]C_{2}e^{-x}cos(x)[/mm] +
> [mm]C_{3}e^{-x}sin(x)[/mm] + [mm]e^{x}(\bruch{1}{10}x[/mm] -
> [mm]\bruch{13}{100})[/mm]
>
> In unserem Skriptum steht aber dass man bei der
> Ansatzmethode folgendermassen vorgeht:
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]x^{\mu(\lambda)}q(x)e^{\lambda x}[/mm]
> q(x) ist ein
> Polynom vom gleichen Grad wie die Störfunktion.
> was dann so aussehen würde:
> [mm]y_{p}[/mm] = [mm]x(Ax+B)e^{-x}[/mm]
Hier ist [mm]\lambda=1[/mm] und [mm]\mu\left(\lambda\right)[/mm] die Vielfachheit von [mm]\lambda=1[/mm]
in der Lösung des charakteristischen Polynoms.
> und wenn man das 3 mal ableitet und einsetzt kommt was ganz
> anderes raus.
>
> Kann mir das jemand erklären?
Gruss
MathePower
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Danke für die rasche Antwort!
Das hab ich garnicht gewusst dass man so vorgeht, und nachdem ich mein Skript jetzt mehrmals durchsucht hab, muss ich feststellen dass das nicht bei uns vorkommt.
Nochmals vielen Dank!
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