DGL, Ansatz der Störfunktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 05.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
[mm] y^{|||}+3y^{||}+3y^{|}+y=sin(x)
[/mm]
mit der Hilfe eines Ansatzes vom Typ der Störfunktion.
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Hallo Matheraum,
bei dieser Aufgabe habe ich Schwierigkeiten, entsprechende Übersichtstabellen der Störfunktionen aus meinem Buch zu lesen.
Mein Ansatz:
Zunächst bestimme ich das Lösungsfundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung, indem ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms errechne. Nach meiner Berechnung stellt (-1) eine dreifache Nullstelle dar. Ich erhalte also
[mm] y_{H}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x}+c_{3}x^{2}e^{-x} [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2},c_{3}\in\IR.
[/mm]
Jetzt würde ich gerne eine spezielle Lösung berechnen und muss dazu einen verwendbaren Ansatz aus der Tabelle der Störfunktionen ermitteln.
Meine Fragen:
1.) Was wäre ein richtiger Ansatz? Die Musterlösung schlägt [mm] y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x) [/mm] vor. Ich kann diesen Schritt allerdings nicht nachvollziehen.
2.) Wie erhalte ich einen richtigen Ansatz aus der Tabelle?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 05.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
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> [mm]y^{|||}+3y^{||}+3y^{|}+y=sin(x)[/mm]
>
> mit der Hilfe eines Ansatzes vom Typ der Störfunktion.
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> Hallo Matheraum,
>
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> bei dieser Aufgabe habe ich Schwierigkeiten, entsprechende
> Übersichtstabellen der Störfunktionen aus meinem Buch zu
> lesen.
>
>
>
> Mein Ansatz:
>
>
> Zunächst bestimme ich das Lösungsfundamentalsystem der
> homogenen Differentialgleichung, indem ich die Nullstellen
> des charakteristischen Polynoms errechne. Nach meiner
> Berechnung stellt (-1) eine dreifache Nullstelle dar. Ich
> erhalte also
>
>
> [mm]y_{H}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x}+c_{3}x^{2}e^{-x}[/mm] mit
> [mm]c_{1},c_{2},c_{3}\in\IR.[/mm]
>
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>
> Jetzt würde ich gerne eine spezielle Lösung berechnen und
> muss dazu einen verwendbaren Ansatz aus der Tabelle der
> Störfunktionen ermitteln.
>
>
>
>
> Meine Fragen:
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>
> 1.) Was wäre ein richtiger Ansatz? Die Musterlösung schlägt
> [mm]y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x)[/mm] vor. Ich kann diesen Schritt
> allerdings nicht nachvollziehen.
Hallo
nimm mal an, die Koefizienten wären alle 1, und die Gleichung würde ganz einfach y+y'+x''+y'''=0 lauten. Ein Ansatz: "y=sin x"
würde aus der DGL folgendes machen: sin x + cos x - sin x - cos x =0 (was offensichtlich stimmt).
Der Ansatz "y=sin 2x" würde auf der linken Seite hingegen zu
sin 2x + 2 cos 2x - 4 sin 2x - 8 cos 2x, also zu -3 sin x - 6 cos x führen.
Im ersten Beispiel hatte sich alles aufgehoben, hier nicht. Deshalb kleine Änderung:
Wir setzen wieder y =sin 2x, ändern die DGL aber in
y+ 4 y'+x''+y''=...
und erhalten
sin 2x + 8 cos 2x - 4 sin 2x - 8 cos 2x, also -3 sin x . Durch die geeignete Wahl der Koeffizienten ist der Kosinus auf der rechten Seite also verschwunden, dort steht nur noch Sinus (so ähnlich wie in deiner Aufgabe).
Nun können wir uns in der Praxis kaum die Aufgaben zurechtbiegen, dass sie zu irgend einem festen Ansatz passen. Deshalb muss man umgekehrt den Ansatz variabel gestalten, um eine fest vorgegebene Störfunktion zu erhalten.
Was ich an menem Ansatz "y=sin 2x" demonstriert habe, hätte mit enem Kosinusansatz genauso funktioniert. Deshalb verwendet man für den allgemeinen Ansatz nicht einfach
"y=sin cx" (bzw. a*sin cx), sondern eine Kombination aus Kosinus und Sinus.
Gruß Abakus
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> 2.) Wie erhalte ich einen richtigen Ansatz aus der
> Tabelle?
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 05.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank soweit. Das erklärt mir schon einmal das Prinzip. Aber wie genau komme ich speziell auf meine Aufgabe bezogen auf
[mm] y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x)?
[/mm]
Meine Störfunktion heisst ja sin(x). In der Tabelle der Störfunktionen steht unter anderem die folgende Zeile
Störfunktion b(x): [mm] asin(x\beta)
[/mm]
[mm] \lambda: i\beta
[/mm]
Ansatz [mm] y_{S}(x): Acos(x\beta)+Bsin(x\beta)
[/mm]
Für [mm] a=\beta=1 [/mm] wäre das meiner Meinung nach der naheliegenste Ansatz, auch wenn er nicht ganz passt.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Do 05.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank soweit. Das erklärt mir schon einmal das
> Prinzip. Aber wie genau komme ich speziell auf meine
> Aufgabe bezogen auf
>
>
> [mm]y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x)?[/mm]
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> Meine Störfunktion heisst ja sin(x). In der Tabelle der
> Störfunktionen steht unter anderem die folgende Zeile
>
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> Störfunktion b(x): [mm]asin(x\beta)[/mm]
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>
> [mm]\lambda: i\beta[/mm]
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> Ansatz [mm]y_{S}(x): Acos(x\beta)+Bsin(x\beta)[/mm]
>
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> Für [mm]a=\beta=1[/mm] wäre das meiner Meinung nach der
> naheliegenste Ansatz, auch wenn er nicht ganz passt.
Hallo,
wieso soll das nicht passen? Probiere es aus. Ende hast du sicher irgendeinen Koeffizienenvergleich zu machen.
Gruß Abakus
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> Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ich dachte es würde nicht ganz passen, weil in den beiden Gleichungen
[mm] y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x)
[/mm]
[mm] y_{S}(x): Acos(x\beta)+Bsin(x\beta)
[/mm]
die Koeffizienten A und B jeweils vertauscht dargestellt sind.
Außerdem steht dann in der gleichen Zeile unter [mm] \lambda: i\beta. [/mm] Nur habe ich ja keine einzige komplexe Nullstelle berechnet, sondern vielmehr 3 reelle. Vielleicht kannst du mich nochmal hinsichtlich meiner Bedenken aufklären.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Marcel,
> Ich dachte es würde nicht ganz passen, weil in den beiden
> Gleichungen
>
> [mm]y_{S}(x)=Asin(x)+Bcos(x)[/mm]
>
> [mm]y_{S}(x): Acos(x\beta)+Bsin(x\beta)[/mm]
>
> die Koeffizienten A und B jeweils vertauscht dargestellt
> sind.
Die Reihenfolge der Koeffizienten spielt keine Rolle.
> Außerdem steht dann in der gleichen Zeile unter [mm]\lambda: i\beta.[/mm]
> Nur habe ich ja keine einzige komplexe Nullstelle
> berechnet, sondern vielmehr 3 reelle. Vielleicht kannst du
> mich nochmal hinsichtlich meiner Bedenken aufklären.
Das [mm] i\beta [/mm] ist nicht ohne Grund aufgeführt, nur steht wahrscheinlich im Rest des Dokumentes noch mehr 
Also, wenn deine Störfunktion [mm] $g(x)=\sin(\beta [/mm] x)$ lautet, dann muss man schauen, wie die Lösungen der homogenen DGL lauten. Sollte nämlich:
[mm] i\beta [/mm] eine r-fache Lösung deiner DGL sein, dann würde dein Ansatz für die partikuläre Lösung [mm] $y_p=x^r*(A\sin(\beta x)+B\cos(\beta [/mm] x))$ heißen müssen.
Bei deinem Beispiel ist [mm] \beta=\green{1} [/mm] und [mm] i\beta\ \text{keine} [/mm] Lösung der DGL, deshalb nur der Ansatz [mm] y_p=A\sin(\green{1}x)+B\cos(\green{1}x)
[/mm]
Ein anderer Grund, warum übrigens sin und cos in dem Ansatz verwendet werden, liegt daran, dass [mm] y_p=C*sin(\beta x+\varphi) [/mm] ebenfalls einen Ansatz der Lösung bietet. Und mit der Anwendung entsprechender Additionstheoreme gelangt man halt wieder auf die Kombination von sin und cos.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay super, vielen Dank für deine/eure schöne(n) Erklärung(en). Wie ich jetzt sehe, unterscheidet man in meinem Buch dabei zwischen den beiden Fällen in denen entweder "Resonanz" vorliegt oder nicht.
Die Resonanz prüfe ich dabe im Zuge der Formel [mm] r(x)=p(x)e^{ax}cos(bx) [/mm] oder [mm] r(x)=p(x)e^{ax}sin(bx), [/mm] mit [mm] a,b\in\IR [/mm] und [mm] p(x)\in\IP.
[/mm]
Nach meinem Verständnis liegt also genau dann Resonanz vor wenn folgendes gilt:
[mm] r(x)\Rightarrow (a+bi)\subseteq \IL_{cg}[\lambda_{1},...,\lambda{n}]
[/mm]
Jetzt habe ich aber noch zwei abschließende Fragen:
1.) In meinem Buch gibt es keine allgemein gefassten Übersichten über entsprechende Störfunktion. Beispielsweise steht dort als Beispiel für eine Störfunktion ohne Resonanzfall
r(x)=4sin(2x)
(a+bi):2i
Normalansatz ohne Resonanz: Acos(2x)+Bsin(2x)
Was geschieht in diesem Beispiel mit dem Faktor 4 aus der Störfunktion? Sämtliche Faktoren in den Übersichten der Störfunktionen werden im Ansatz einfach weggelassen? Wieso ist das erlaubt?
2.) Kennst du eventuell eine allgemein gefasste Übersicht über a) Störfunktionen ohne Resonanz und b) über Stöfunktionen mit Resonanz? Das wäre sicherlich sehr hilfreich.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Fr 06.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank soweit.
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Vielleicht hilft das hier schonmal: pdf