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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 27.07.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | a)
Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Y'=AY
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ 0&2&4\\0&0&3 }
[/mm]
b)
Geben Sie alle Lösungen von Y'=AY+G an
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -3 \\ 0&2&4\\0&0&3 }
[/mm]
[mm] B=\vektor{-1\\0\\3} [/mm] |
Hi Leute :) Ich bräuchte mal jemanden, der hier mal drüberguckt, ob das so okay ist.
Erstmal vorab, wenn da steht, ich soll ein Fundamentalsystem angeben, Ist dann damit die Matrix gemeint, in der Spaltenweise die Lösungen stehen und mit dem Konstantenvektor multipliziert wird, oder soll das ausmultipliziert werden?
Und wie gebe ich dann "alle Lösungen" an? Ist das Fundamentalsystem keine Lösung, oder ist das hier wegen der Inhomogenität?
Ich fang aber mal an.
Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1,2}=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=3
[/mm]
Eigenvektoren sind einmal [mm] v_3=\vektor{1\\4\\1}
[/mm]
Und [mm] v_1=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Da die geometrische Vielfachheit kleiner als die Algebraische ist, quadriere ich die Matrix mit dem eingesetzten [mm] \lambda_{1,2}=2:
[/mm]
[mm] \pmat{0&1&-3\\0&0&4\\0&0&3}^2=\pmat{0&0&-5\\0&0&12\\0&0&9}
[/mm]
Dort wähle ich einen linear unabhängigen EV zu [mm] v_1, [/mm] z.B. [mm] v_2=\vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
Damit sehen die Teillösungen so aus:
[mm] \Phi_1=e^{2x}\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
[mm] \Phi_2=e^{2x}(\vektor{1\\1\\0}+x\pmat{0&1&-3\\0&0&4\\0&0&3}\vektor{1\\1\\0})=e^{2x}\vektor{1+x\\1\\0}
[/mm]
[mm] \Phi_3=e^{3x}\vektor{1\\4\\1}
[/mm]
Alles zusammen:
[mm] \Phi=\pmat{e^{2x}&e^{2x}+xe^{2x}&e^{3x}\\0&e^{2x}&4e^{3x}\\0&0&e^{3x}}*C
[/mm]
Sind fehler drin, muss ich irgendwas anders schreiben?
Danke fürs Durchlesen :)
Schöne Grüße,
kappen
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Hallo kappen,
> a)
> Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von Y'=AY
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & -3 \\ 0&2&4\\0&0&3 }[/mm]
>
> b)
> Geben Sie alle Lösungen von Y'=AY+G an
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & -3 \\ 0&2&4\\0&0&3 }[/mm]
>
> [mm]B=\vektor{-1\\0\\3}[/mm]
> Hi Leute :) Ich bräuchte mal jemanden, der hier mal
> drüberguckt, ob das so okay ist.
>
> Erstmal vorab, wenn da steht, ich soll ein
> Fundamentalsystem angeben, Ist dann damit die Matrix
> gemeint, in der Spaltenweise die Lösungen stehen und mit
> dem Konstantenvektor multipliziert wird, oder soll das
> ausmultipliziert werden?
Das Fundamentalsystem ist nur die Matrix mit den Lösungen.
Demnach ohne den Konstantenvektor.
> Und wie gebe ich dann "alle Lösungen" an? Ist das
> Fundamentalsystem keine Lösung, oder ist das hier wegen
> der Inhomogenität?
>
> Ich fang aber mal an.
>
> Eigenwerte sind [mm]\lambda_{1,2}=2[/mm] und [mm]\lambda_3=3[/mm]
> Eigenvektoren sind einmal [mm]v_3=\vektor{1\\4\\1}[/mm]
> Und [mm]v_1=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> Da die geometrische Vielfachheit kleiner als die
> Algebraische ist, quadriere ich die Matrix mit dem
> eingesetzten [mm]\lambda_{1,2}=2:[/mm]
>
> [mm]\pmat{0&1&-3\\0&0&4\\0&0&3}^2=\pmat{0&0&-5\\0&0&12\\0&0&9}[/mm]
> Dort wähle ich einen linear unabhängigen EV zu [mm]v_1,[/mm] z.B.
> [mm]v_2=\vektor{1\\1\\0}.[/mm]
>
> Damit sehen die Teillösungen so aus:
> [mm]\Phi_1=e^{2x}\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> [mm]\Phi_2=e^{2x}(\vektor{1\\1\\0}+x\pmat{0&1&-3\\0&0&4\\0&0&3}\vektor{1\\1\\0})=e^{2x}\vektor{1+x\\1\\0}[/mm]
> [mm]\Phi_3=e^{3x}\vektor{1\\4\\1}[/mm]
>
> Alles zusammen:
>
> [mm]\Phi=\pmat{e^{2x}&e^{2x}+xe^{2x}&e^{3x}\\0&e^{2x}&4e^{3x}\\0&0&e^{3x}}*C[/mm]
Stimmt, wenn [mm]C=\pmat{c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}}[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sind fehler drin, muss ich irgendwas anders schreiben?
>
> Danke fürs Durchlesen :)
>
> Schöne Grüße,
> kappen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 27.07.2010 | | Autor: | kappen |
Jippi :)
Gibt es für die b) eine andere Möglichkeit, als über Variation der Konstanten? Weil hier im skript steht:
Ist im inhomogenen System [mm] Y'=AY+e^{ax}G [/mm] (A und G konstant) die Zahl a KEIN Eigenwert der Matrix A, so gibt es eine partikuläre Lösung der Form [mm] Y=e^{ax}Z, [/mm] wobei Z ein konstanter Vektor ist.
Ist ja schön, aber steht halt nicht wie man es löst; wie komme ich an den konstanten Vektor? Und darf a überhaupt 0 sein, wie in diesem Fall jetzt?
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Hallo kappen,
> Jippi :)
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> Gibt es für die b) eine andere Möglichkeit, als über
> Variation der Konstanten? Weil hier im skript steht:
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> Ist im inhomogenen System [mm]Y'=AY+e^{ax}G[/mm] (A und G konstant)
> die Zahl a KEIN Eigenwert der Matrix A, so gibt es eine
> partikuläre Lösung der Form [mm]Y=e^{ax}Z,[/mm] wobei Z ein
> konstanter Vektor ist.
>
> Ist ja schön, aber steht halt nicht wie man es löst; wie
> komme ich an den konstanten Vektor? Und darf a überhaupt 0
> sein, wie in diesem Fall jetzt?
Ja, a darf durchaus 0 sein.
Setze hier an mit einem konstanten Vektor U,
Einsetzen in die inhomogene DGL liefert diesen konstanten Vektor U:
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 27.07.2010 | | Autor: | kappen |
Okay, also einfach einsetzen?
Ich komme und die Inversenbildung von A nicht herum, oder? Jedenfalls habe ich für U dann [mm] \vektor{-4\\2\\-1} [/mm] herausbekommen.
[mm] AU=\vektor{1\\0\\-3} \gdw U=A^{-1}\vektor{1\\0\\-3}
[/mm]
[mm] A^{-1}=1/6*\pmat{6&-3&10\\0&3&-4\\0&0&2}
[/mm]
U= [mm] \vektor{-4\\2\\-1}
[/mm]
interessante Sache sowas ;) Danke!
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Hallo kappen,
> Okay, also einfach einsetzen?
>
> Ich komme und die Inversenbildung von A nicht herum, oder?
Natürlich kannst Du das Gleichungssystem
A*U+G=0
auch durch sukzessives Einsetzen lösen.
(A ist ja eine Dreiecksmatrix)
> Jedenfalls habe ich für U dann [mm]\vektor{-4\\2\\-1}[/mm]
> herausbekommen.
>
> [mm]AU=\vektor{1\\0\\-3} \gdw U=A^{-1}\vektor{1\\0\\-3}[/mm]
>
> [mm]A^{-1}=1/6*\pmat{6&-3&10\\0&3&-4\\0&0&2}[/mm]
> U= [mm]\vektor{-4\\2\\-1}[/mm]
>
.
>
> interessante Sache sowas ;) Danke!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Di 27.07.2010 | | Autor: | kappen |
Danke! Wüsste nicht was ich ohne das Forum tun würde :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 30.07.2010 | | Autor: | kappen |
Ich hab' noch ne Frage. Ist es echt egal im 2. Schritt des Algorithmus (dort, wo ich die Matrizen quadriere) welchen EV ich wähle? Wenn ich z.B. ne Nullmatrix habe, kann der Vektor irgendeiner sein. Hier gibts ja zu [mm] v_1 [/mm] einige andere Linear unabhängige Vektoren..
Zb [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] oder [mm] \vektor{0\\1\\0}?
[/mm]
Danke & schöne Grüße
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Hallo kappen,
> Ich hab' noch ne Frage. Ist es echt egal im 2. Schritt des
> Algorithmus (dort, wo ich die Matrizen quadriere) welchen
> EV ich wähle? Wenn ich z.B. ne Nullmatrix habe, kann der
Der zweite Vektor [mm]\overrightarrow{v_{2}}} \in \operatorname{Kern}\left( \ \left(A-2*E\right)^{2} \right)[/mm] darf nicht zugleich
Element von [mm]\operatorname{Kern}\left(A-2*E\right)[/mm] sein.
> Vektor irgendeiner sein. Hier gibts ja zu [mm]v_1[/mm] einige andere
> Linear unabhängige Vektoren..
> Zb [mm]\vektor{1\\1\\0}[/mm] oder [mm]\vektor{0\\1\\0}?[/mm]
>
> Danke & schöne Grüße
Gruss
MathePower
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