DGL: Fundamentalsystem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr!
Ich habe eine Frage zur Bestimmung des Fundamentalsystems bei DGL.
Ich habe in meinem Skript Bsp., bei denen ich schonmal nicht verstehe, wie man auf die charakteristischen Polynome kommt:
[mm] y''=w^{2}y=0
[/mm]
Ich habe versucht eine Matrix aufzustellen mit [mm] y''-w^{2}y=0.
[/mm]
Und zwar hab ich da eine Formel, die folgendermaßen lautet für [mm] y^{(n)} +a_{n-1}y^{(n-1)}+...+ a_{1}y'+a_{0}y=f(x).
[/mm]
Und dann:
[mm] \pmat{0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\ -a_{0}(x) & \cdots & \cdots & a_{0} & -a_{n-1}(x) }
[/mm]
In meinem Fall hab ich dann eingesetzt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ w^{2} & 0 & -1}
[/mm]
Dann komm ich auf ein charak. Polynom:
c( [mm] \lambda)= -\lambda^{3}-\lambda^{2}+w^{2}
[/mm]
In meinem Skript kommen sie aber leider auf:
c( [mm] \lambda)= \lambda^{2}+w^{2}
[/mm]
Wie man dann von hier auf das FS kommt, ist mir klar, aber nicht wie man auf die Matrix kommt!
Danke für euere Mühe!
|
|
| |
|
Hallo!
Ich glaube, dass die DGL so lauten muss: $y''+w^2y=0$. Kann das sein?
Der Fehler den du machst ist folgender: Bei dir ist ja $n=2$. Also kommst du auf die Matrix [mm] $\pmat{0&1\\-w^2&0}$...
[/mm]
Das charakteristische Polynom hiervon ist [mm] $x^2+w^2$.
[/mm]
Eine viel einfachere Methode ist allerdings folgende: Setze in deiner Gleich [mm] $x^2$ [/mm] für $y''$, $x$ für $y'$ und $1$ für $y$. Auf eine Formel gebracht: [mm] $y^{(n)}$ [/mm] wird ersetzt durch [mm] $x^n$. [/mm] So kommst du schneller und einfacher auf das charakteristische Polynom!
Gruß, banachella
|
|
|
|
