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Forum "Chemie" - DGL: Mischung im Behälter
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DGL: Mischung im Behälter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mi 21.02.2018
Autor: michi_1995

Hallo liebe Gemeinde,

ich bin durch Google auf das Forum gestoßen und habe schon ein wenig mitgelesen.

Ich habe nun eine Frage die ich mir selber nicht beantworten kann und frage Euch deshalb um Hilfe.

Ich habe ein Behälter mit einem Volumen V und einer Konzentration eines Stoffes c. Diese Konzentration kann entweder zum Zeitpunkt [mm] c(t_0) [/mm] = 0 g/m³ betragen oder auch [mm] c(t_0) [/mm] > 0 g/m³.

Ich möchte nun einen bestimmten Volumenstrom [mm] \dot{Q} [/mm] mit einer fixen Konzentration [mm] c_Q [/mm] dem Behälter hinzufügen, um eine bestimmte Mischkonzentration in dem Behälter herzustellen.
Dabei soll keine Volumenentnahme aus dem Behälter stattfinden.

Zunächst eine Volumenbilanz (die Volumenbilanz soll in diesem Fall ausreichen)

[mm] \dot{Q}\cdot c_Q=\frac{d(V\cdot c)}{dt} [/mm]
Nun Kettenregel auflösen:

[mm] \dot{Q}\cdot c_Q=V\cdot\frac{d c}{dt}+c\cdot \frac{dV}{dt} [/mm]

Für dV gilt:
[mm] dV=\dot{Q}\cdot [/mm] dt

daraus folgt:

[mm] \dot{Q}\cdot c_Q=V\cdot\frac{d c}{dt}+c\cdot\dot{Q}\frac{dt}{dt} [/mm]

Umstellen ergibt mit dt/dt=1

[mm] \dot{Q}\cdot(c_Q-c)=V\cdot\frac{d c}{dt} [/mm]

Trennung der Variablen ergibt:

[mm] \dot{Q}\cdot dt=V\cdot \frac{dc}{(c_Q-c)} [/mm]

integrieren von 0 bis t sowie von c0 (Anfgangskonzentration) bis zur Endkonzentrationm cE:

[mm] \dot{Q}\cdot\int_0^t dt=V\cdot\int_{c0}^{cE}\frac{dc}{(c_Q-c)} [/mm]

ergibt:

[mm] \dot{Q}\cdot t=V\cdot\ln\left(\frac{c_0-c_Q}{c_E-cQ}\right) [/mm]


Ich bin mir aber gerade unsicher, ob die o.g. Rechnung und Bilanz korrekt ist und man nicht einfach die Bilanz:

[mm] \dot{Q}\cdot c_Q=V\cdot\frac{dc}{dt} [/mm]

lösen muss und dann eine lineare Beziehung erhält.

Kann mir jemand etwas auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Mi 21.02.2018
Autor: chrisno

Hallo,

bevor ich Weiteres schreibe, muss ich zur Sicherheit nachfragen:
Soll die Zufuhr mit einem konstanten Volumenstrom erfolgen?

Bezug
                
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Mi 21.02.2018
Autor: michi_1995

Hallo,

ja Q soll in diesem Fall konstant sein.

Gruß!

Bezug
        
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Mi 21.02.2018
Autor: chrisno

Da ich gleich Feierabend mache, schreibe ich doch noch schnell. Mit
c(t): Konzentration
[mm] $V_S [/mm] (t)$ Volumen des gelösten Stoffes
[mm] $V_L [/mm] (t)$ Volumen des Lösungsmittels
$V_S0 $ Volumen des gelösten Stoffes am Anfang
$V_L0 $ Volumen des Lösungsmittels am Anfang
[mm] $\dot{V_S}$ [/mm] Volumenzustrom des Stoffes
[mm] $\dot{V_L}$ [/mm] Volumenzustrom des Lösungsmittels


$c(t) = [mm] \br{V_S (t)}{V_L (t)} [/mm] = [mm] \br{V_S0 +\dot{V_S} \cdot t}{V_L0 +\dot{V_L} \cdot t} [/mm] $

Die einzelnen Größen kannst Du durch die Volumina und die Konzentration ersetzen, sodass nur noch Anfangsvolumen und -konzentration sowie Volumenzustrom und dessen Konzentration im Ausdruck für c(t) [mm] stehen.$\dot{V_S}$ [/mm] Volumenzustrom des Stoffes

Bezug
                
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Do 22.02.2018
Autor: michi_1995

Hallo,

vielen Dank für die Antwort.
Diese Gleichung weicht schon stark von meiner oben aufgestellten Differentialgleichung ab.
Offensichtlich scheint meine DGL im Ansatz bereits falsch zu sein.

Wo liegt mein Fehler bzw. welchen Ansatz hätte ich wählen müssen, um das Ganze aus der differentiellen Betrachtung zu bekommen?

Vielen Dank!

Gruß!
der Michael

Bezug
                        
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Do 22.02.2018
Autor: leduart

Hallo
was genau soll denn V*c bzw [mm] Q*c_q [/mm] sein?
wie ist c definiert? [mm] c=V_s/V_{ges} [/mm] oder [mm] c=V_s/(V_{ges}-V_s) [/mm]
in beiden Fällen  hast du [mm] V_{ges}(t)*c(t)= V_s(t) [/mm]  oder [mm] V_{ges}*c=V_s+ c*V_s [/mm]
ich nehm mal das erste an. entsprechend [mm] c_q*Q=Q_s [/mm]
in der Zeit dt wird aus [mm] V_{ges} [/mm]  V_ges+Q*dt  aus [mm] V_s [/mm] wird [mm] V_s+Q_s*dt, [/mm]  die neue Konzentration ist dann  [mm] c(t+dt)=(V_{ges}*c(t)+c_qQ*dt)/(V_ges+Q*dt [/mm] )
jetzt (c(t+dt)-c(t))/dt=c'(t)
irgendwie gehst du bei deiner Herleitung mit c ungenau um .
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Fr 23.02.2018
Autor: HJKweseleit

Ich weiß nicht, ob ich dein Problem richtig verstehe, aber wenn es sich so verhält, wie ich es verstehe, schießt du mit Kanonen auf Spatzen.

Ausgangslage: In einem Behälter befindet sich zum Zeitpunkt t=0 eine Flüssigkeit mit der Konzentration c eines "Fremdstoffes". Dieser wird nun ein konstanter Flüssigkeitsstrom w=dV/dt mit der festen Konzentration k hinzugefügt. Die Frage ist: Wie hoch ist die Konzentration im Behälter nach der Zeit T?

Falls das die Problemstellung ist, geht das Ganze so:

Nach der Zeit T befindet sich im Behälter die Flüssigkeitsmenge V + w*T.
In V befand sich die Menge cV als Fremdstoff, in wT die Menge kwT als Fremdstoff. Also befindet sich nun in der Flüssigkeitsmenge V + w*T die Fremdstoffmenge cV+kwT. Dementsprechend ist nun die Konzentration nach der Zeit T

[mm] \bruch{cV+kwT}{V+wT} [/mm] = Konzentration nach der Zeit T.



Bezug
                
Bezug
DGL: Mischung im Behälter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Fr 23.02.2018
Autor: michi_1995

Hallo,

vielen Dank!
Ich glaube das war wirklich etwas heftig!

Mir ging es aber um den reinen theoretischen Ansatz, weil man müsste ja auch mit dem differentiellen Gedanken auf dieselbe Formel kommen!

Vielen Dank Euch!

Gruß
Michael

Bezug
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