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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Potenzreihenentwicklung
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DGL Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:44 Do 07.07.2011
Autor: cruemel

Aufgabe
Betrachten Sie die DGL [mm] $t^2 \dot{x} [/mm] + x = t$ mit der Anfangsbedingung $x(0)=0$. [mm] ($\dot{x} [/mm] = [mm] \frac{dx}{dt}$) [/mm]
Zeigen Sie:
a) Es gibt eine Lösung durch eine formale Potenzreihe $x=P(t)$.
b) Es gibt keine analytische Lösung
c) Es gibt unendliche viele unendlich oft reell differenzierbare Lösungen, deren Taylorreihe in $t=0$ stets die Reihe $P(t)$ ist.

Hallo Alle zusammen,

ich bin wiedermal überfragt, daher wäre ich sehr dankbar um jegliche Unterstützung!!!

a) Ich löse nach [mm] $\dot{x}$ [/mm] auf: [mm] $\dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2}$ [/mm] und sehe, dass alle Koeffizentenfunktionen in 0 zu Potenzreihen entwickelbar sind. Reicht das?

b) Hier weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll :-(

c) Muss ich hierzu die Potenzreihenentwicklung vornehmen und die Antwort dann an der Potenzreihendarstellung der Lösung ablesen?

Kann mir jemand von euch helfen?

Vielen Dank schon mal
crümel

PS: Falls es jemanden interessiert, es handelt sich hier um eine Staatsexamensaufgabe (FJ 2007)

        
Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Do 07.07.2011
Autor: fred97

Für eine Lösung x mache den Ansatz

         [mm] $x(t)=\summe_{n=1}^{\infty}a_nt^n$. [/mm]

Gehe damit in die DGL ein und schau, was Du über die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] herausbekommst.

FRED

Bezug
                
Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:02 Do 07.07.2011
Autor: cruemel

Ok, das wär dann schon mal eine Antwort für c, weiß noch jemand etwas zu a oder b?

Bezug
                        
Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:57 Do 07.07.2011
Autor: leduart

Hallo
zu a) wie kommst du auf $ [mm] \dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2} [/mm] $
was meinst du mit alle Koeff, in eine Potenzreihe zu entwickeln?
warum nit P(t) einsetzen und zeigen, dass es ne Lösung gibt?
Gruss leduart



Bezug
                                
Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Fr 08.07.2011
Autor: cruemel

Oh Tippfehler, ich meine natürlich $ [mm] \dot{x}= \frac{1}{t} [/mm] - [mm] \frac{1}{t^2}x [/mm] $ und mit Koeffinzientenfunktionen meine ich [mm] $\frac{1}{t}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{t^2}$. [/mm]

Du meinst die ganz allgemeine Form einer Taylorentwicklung [mm] $\sum_{n=0}^\infty= a_n [/mm] (z - [mm] z_0)^n$ [/mm] in die DGL einsetzen und dann schauen ob das noch konvergiert oder?

Bezug
                                        
Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Fr 08.07.2011
Autor: leduart

Hallo
wie entwickelst du 1/t in [mm] t_0=0? [/mm]
gruss leduart


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Bezug
DGL Potenzreihenentwicklung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Fr 15.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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