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DGL Skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 So 05.06.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Bestimme die allgemeine Lösung der DGL

[mm] $x'=-\bruch{x}{t}+1$ [/mm]

Fertige eine Skizze einiger Lösungen in der $(t,x)$ Ebene an.

Hallo,

die allgemeine Lösung konnte ich schon berechnen, die lautet:

$x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t}$ [/mm]

Wie skizziere ich das nun?

Ich wollte daraus eine Funktionsgleichung machen:

[mm] $\bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] = 0$   nun multipliziere ich die Gleichung mit $2t$
[mm] $2c+t^2 [/mm] = 0$
$2c = [mm] -t^2$ [/mm]
$c = [mm] -\bruch{t^2}{2}$ [/mm]

Nur kommt  bei dieser Funktion ein ganz anderer Graph heraus als bei der Ausgangsfunktion [mm] $\bruch{2c+t^2}{2t}=0$. [/mm] Was mach ich falsch?

Lg

        
Bezug
DGL Skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 So 05.06.2011
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Die Skizze besteht doch nun einfach aus einem Graphen, bei dem horizontal t und vertikal x(t) aufgetragen ist. Deine Formel

$ x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] $

ist doch bereits die Funktionsgleichung, du kannst dir hier noch ein c aussuchen.

Was genau möchtest du mit deiner weiteren Rechnung erreichen?

Im Prinzip bestimmst du da nur die Nullstellen der Funktion, sprich für welches c die Funktion wo ihre Nullstelle hat.

Genauso könntest du in der Funktionsgleichung t=0 setzen, und damit die Schnittpunkte mit der vertikalen Achse abhängig von c bestimmen.

Im Prinzip kannst du auf diese weise für jedes c zwei Punkte angeben, durch die die Lösungskurve verlaufen muß.

Aber... wie sieht denn die Funktion $ x = [mm] \bruch{2c+t^2}{2t} [/mm] $ etwa aus? Das solltest du erkennen! (splitte den Bruch mal in die zwei Summanden auf!)


Bezug
                
Bezug
DGL Skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 So 05.06.2011
Autor: dreamweaver

Ich danke dir!
Ist doch schon ein etwas längerer Mathetag...


Nunja augesplitted schauts so aus:
$x(t) = [mm] \bruch{c}{t}+\bruch{t}{2}$ [/mm]

Das heißt ich habe Hyperbelfunktion [mm] $\bruch{c}{t}$ [/mm] und eine Geradenfunktion [mm] $\bruch{t}{2}$. [/mm]

Nur wie schaun beide Funktionen vereint aus?

Ist die Gerade eventuell eine Asymptote der der Hyperbel?

Lg

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Bezug
DGL Skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 So 05.06.2011
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das ist völlig korrekt. Du bekommst eine Funktion der Gestalt [mm] x=\frac{1}{t} [/mm] , die als Asymptote diese Grade statt der horizontalen Achse hat.

(Nebenbei heißt das

1.: die Nullstellen, die du eingangs berechnen wolltest, existieren nur für negative c

2.: Meine Sache mit den Schnittpunkten mit der vertikalen Achse ist natürlich quatsch, die gibt es hier ja nicht)


Bezug
                                
Bezug
DGL Skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:12 So 05.06.2011
Autor: dreamweaver

Ich danke dir für deine Hilfe!

Nun ists mir klar.

Lg

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