DGL System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei g:R->R stetig. Schreibe das AWP y''+4y=g(x) y(0)=y'(0)=0 in ein System um und löse dieses durch Variation der Konstanten. Zeige, dass im Fall g(x)=|sin(x)| die Lösung unbeschränkt ist. |
Hallo!
Ich finde hier leider den Fehler nicht, kann mir jemand helfen?
Das System ist:
[mm] \vektor{y'\\u'}=\pmat{ 0 & 1 \\ -4 & 0 }\vektor{y\\u}+\vektor{0\\g(t)}
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \pm [/mm] 2i
Transformationsmatrix aus Eigenbasis: [mm] T=\pmat{ -\frac{i}{2} & \frac{i}{2} \\ 1 & 1}
[/mm]
Transformiert man nun die Koordinaten mit [mm] \vektor{y\\u}=T\vektor{z_1\\z_2}
[/mm]
erhält man
[mm] \vektor{z_1'\\z_2'}=\pmat{ 2i & 0 \\ 0 & -2i }\vektor{z_1\\z_2}
[/mm]
-> nach Rücktransformation [mm] \vektor{y\\u}_{hom}=\vektor{\frac{C_2ie^{-2ti}}{2}-\frac{C_1ie^{2ti}}{2}\\C_1e^{2ti}+C_2e^{-2ti}}
[/mm]
Wenn man beachtet, dass jede komplexe Lösung 2 reele liefert erhält man:
[mm] \pmat{ \frac{cos(2t)}{2} & \frac{sin(2t)}{2} \\ -sin(2t) & cos(2t) }\vektor{A_1\\A_2}
[/mm]
Die Spalten der Matrix bilden ein Fundamentalsystem des homogenen Systems! Man muss nur die Konstanten geeignet variieren um noch eine spezielle Lösung zu finden. Dazu habe ich die Fundamentalmatrix invertiert und mit [mm] \vec{g} [/mm] multipliziert und dann integriert!
Als Inverse erhalte ich [mm] \pmat{ 2cos(2t) & -sin(2t) \\ 2sin(2t) & cos(2t) }
[/mm]
Mit g multipliziert und unbestimmt integriert ergibt sich:
[mm] \vektor{-\integral_0^tg(x)sin(2x)dx\\ \integral_0^tg(x)cos(2x)dx}
[/mm]
Anfangsbedingungen einsetzen:
[mm] \vec{0}=\pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{A_1\\A_2}+\vec{0}
[/mm]
Daraus folgt aber das [mm] \vektor{A_1\\A_2}=\vec{0}
[/mm]
Nun habe ich aber den Eindruck, dass die Lösungen für den speziellen Fall, die dann die Gestalt
[mm] \vektor{-\integral_0^tsin(x)sin(2x)dx\\ \integral_0^tsin(x)cos(2x)dx}
[/mm]
annehmen nicht unbeschränkt sind!!
Was mache ich falsch?
Danke!!
Gruß
Angelika
|
|
| |
|
Hallo AbraxasRishi,
> Sei g:R->R stetig. Schreibe das AWP y''+4y=g(x)
> y(0)=y'(0)=0 in ein System um und löse dieses durch
> Variation der Konstanten. Zeige, dass im Fall g(x)=|sin(x)|
> die Lösung unbeschränkt ist.
> Hallo!
>
> Ich finde hier leider den Fehler nicht, kann mir jemand
> helfen?
>
> Das System ist:
>
> [mm]\vektor{y'\\u'}=\pmat{ 0 & 1 \\ -4 & 0 }\vektor{y\\u}+\vektor{0\\g(t)}[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]\pm[/mm] 2i
> Transformationsmatrix aus Eigenbasis: [mm]T=\pmat{ -\frac{i}{2} & \frac{i}{2} \\ 1 & 1}[/mm]
>
> Transformiert man nun die Koordinaten mit
> [mm]\vektor{y\\u}=T\vektor{z_1\\z_2}[/mm]
>
> erhält man
>
> [mm]\vektor{z_1'\\z_2'}=\pmat{ 2i & 0 \\ 0 & -2i }\vektor{z_1\\z_2}[/mm]
>
> -> nach Rücktransformation
> [mm]\vektor{y\\u}_{hom}=\vektor{\frac{C_2ie^{-2ti}}{2}-\frac{C_1ie^{2ti}}{2}\\C_1e^{2ti}+C_2e^{-2ti}}[/mm]
>
> Wenn man beachtet, dass jede komplexe Lösung 2 reele
> liefert erhält man:
>
> [mm]\pmat{ \frac{cos(2t)}{2} & \frac{sin(2t)}{2} \\ -sin(2t) & cos(2t) }\vektor{A_1\\A_2}[/mm]
>
> Die Spalten der Matrix bilden ein Fundamentalsystem des
> homogenen Systems! Man muss nur die Konstanten geeignet
> variieren um noch eine spezielle Lösung zu finden. Dazu
> habe ich die Fundamentalmatrix invertiert und mit [mm]\vec{g}[/mm]
> multipliziert und dann integriert!
>
> Als Inverse erhalte ich [mm]\pmat{ 2cos(2t) & -sin(2t) \\ 2sin(2t) & cos(2t) }[/mm]
>
> Mit g multipliziert und unbestimmt integriert ergibt sich:
>
> [mm]\vektor{-\integral_0^tg(x)sin(2x)dx\\ \integral_0^tg(x)cos(2x)dx}[/mm]
>
> Anfangsbedingungen einsetzen:
>
> [mm]\vec{0}=\pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{A_1\\A_2}+\vec{0}[/mm]
>
> Daraus folgt aber das [mm]\vektor{A_1\\A_2}=\vec{0}[/mm]
Nun, es ergeben sich folgende Gleichungen:
[mm]A_{1}'=-g\left(t\right)*\sin\left(2*t\right)[/mm]
[mm]A_{2}'=g\left(t\right)*\cos\left(2*t\right)[/mm]
Beide Seiten nach t in den Grenzen von 0 bis t integriert ergibt:
[mm]\integral_{0}^{t}{A_{1}' \ dt}=-\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\sin\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
[mm]\integral_{0}^{t}{A_{2}' \ dt}=\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\cos\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
Dies ergibt:
[mm]A_{1}\left(t\right)-A_{1}\left(0\right)=-\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\sin\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
[mm]A_{2}\left(t\right)-A_{2}\left(0\right)=\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\cos\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
Umgeformt ergibt:
[mm]A_{1}\left(t\right)=A_{1}\left(0\right)-\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\sin\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
[mm]A_{2}\left(t\right)=A_{2}\left(0\right)+\integral_{0}^{t}{g\left(t\right)*\cos\left(2*t\right) \ dt}[/mm]
, wobei [mm]A_{1}\left(0\right), \ A_{2}\left(0\right)[/mm] als Konstanten anzusehen sind.
Einsetzen in
[mm]\pmat{ \frac{cos(2t)}{2} & \frac{sin(2t)}{2} \\ -sin(2t) & cos(2t) }\vektor{A_1\\A_2}[/mm]
und Berücksichtigung der Anfangsbedingungen liefern dann die Konstanten.
>
> Nun habe ich aber den Eindruck, dass die Lösungen für den
> speziellen Fall, die dann die Gestalt
>
> [mm]\vektor{-\integral_0^tsin(x)sin(2x)dx\\ \integral_0^tsin(x)cos(2x)dx}[/mm]
>
> annehmen nicht unbeschränkt sind!!
>
> Was mache ich falsch?
>
> Danke!!
>
> Gruß
>
> Angelika
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe Power,
Kann ich die Konstanten [mm] A_1(0), A_2(0) [/mm] nicht weglassen wie ich es gemacht habe. Es ist ja nur irgendeine Stf. gesucht und da kommts auf Konstanten ja nicht an oder?Bei der Bestimmung der speziellen Lösung mit Variation sind ja normal keine Konstanten zu bestimmen oda? Das mache ich zum Schluss wen ich die Gesamtlösung hinschreibe.Mein eigentlicher Fehler war also das ich vergessen habe das [mm] \vec{A}[/mm] also die varrierte Konstante noch mit der Fundamentalsystemsmatrix zu multiplizieren....für die spezielle Lösung! Wie konnte mir so ein kapitaler Fehler nicht auffallen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Aber trotzdem ändert er ja nix an den vorhin ausgerechneten Werten für [mm] C_1,C_2 [/mm] und an der Beschränktheit der Lösung. Oder sehe ich das falsch?
Danke dir auf alle Fälle!!
Angelika
|
|
|
| |
|
Hallo AbraxasRishi,
> Hallo Mathe Power,
>
>
> Kann ich die Konstanten [mm]A_1(0), A_2(0)[/mm] nicht weglassen wie
> ich es gemacht habe. Es ist ja nur irgendeine Stf. gesucht
Das kannst Du, musst Du aber dann berücksichtigen, daß sich die Lösung
der DGL aus der Lösung der zugehörigen homogenen DGL und einer
speziellen Lösung der inhomogenen DGL ergibt.
> und da kommts auf Konstanten ja nicht an oder?Bei der
> Bestimmung der speziellen Lösung mit Variation sind ja
> normal keine Konstanten zu bestimmen oda? Das mache ich zum
> Schluss wen ich die Gesamtlösung hinschreibe.Mein
> eigentlicher Fehler war also das ich vergessen habe das
> [mm]\vec{A}[/mm] also die varrierte Konstante noch mit der
> Fundamentalsystemsmatrix zu multiplizieren....für die
> spezielle Lösung! Wie konnte mir so ein kapitaler Fehler
> nicht auffallen Aber trotzdem ändert er ja nix
> an den vorhin ausgerechneten Werten für [mm]C_1,C_2[/mm] und an der
> Beschränktheit der Lösung. Oder sehe ich das falsch?
Wendet man das "normale" Verfahren an,
so ergibt sich für
[mm]g\left(x\right)=\vmat{sin(\left(x\right)}[/mm]
die allgemeine Lösung
[mm]y\left(x\right)=C_{1}*\sin\left(2x\right)+C_{2}*\cos\left(2x\right)+\bruch{1}{3}\vmat{\sin\left(x\right)}[/mm]
Mit der Anfangsbedingung folgt,
daß eine Konstante von 0 verschieden ist.
>
> Danke dir auf alle Fälle!!
>
>
> Angelika
Gruss
MathePower
|
|
|
|
