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Forum "Differenzialrechnung" - DGL Trennung der Veränderliche
DGL Trennung der Veränderliche < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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DGL Trennung der Veränderliche: Verständnis-Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Sa 09.05.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Die Kondition eines Radfahrers sei durch den folgenden Zusammenhang von Beschleunigung a und Geschwindigkeit v beschrieben: [mm] a=\frac{\beta}{v+v_o} [/mm]
Der Radfahrer startet bei t=0 aus der Ruhe. Berechnen sie v(t), indem Sie die Differentialgleichung durch Trennung der Veränderlichen lösen.

Hallo zusammen,

diese Aufgabe ist bereits gelöst, jedoch verstehe ich einen Schritt nicht und hoffe, das mir den einer von euch erklären kann. Hier erstmal die Rechnung:

[mm] a=\frac{\beta}{v+v_o} [/mm]
[mm] \frac{dv}{dt}=\frac{\beta}{v+v_0} [/mm]
[mm] (v+v_o)dv=\beta [/mm] dt
[mm] \integral{(v+v_o)dv}=\integral{\beta dt} [/mm]
[mm] \frac{v^2}{2}+v_0v=\beta [/mm] t+C

Hier setze ich die Anfangsbedingung ein v(0)=0 [mm] \rightarrow [/mm] C=0

[mm] \frac{1}{2}(v+v_0)^2=\frac{v_0^2}{2}+\beta [/mm] t (hier mein erstes Problem: woher kommt [mm] \frac{v_0^2}{2} [/mm] auf der rechten Seite der Gleichung?)
[mm] v(t)+v_0=\pm \sqrt{v_0^2+2\beta t} [/mm]

[mm] \rightarrow v(t)=v_0(\sqrt{1+\frac{2\beta t}{v_0^2}-1} [/mm] (Hier mein zweites Problem: wie komme ich von dem vorherigen Term auf dieses Ergebnis?


Danke für eure Hilfe

        
Bezug
DGL Trennung der Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:47 Sa 09.05.2015
Autor: rmix22


> Die Kondition eines Radfahrers sei durch den folgenden
> Zusammenhang von Beschleunigung a und Geschwindigkeit v
> beschrieben: [mm]a=\frac{\beta}{v+v_o}[/mm]
>  Der Radfahrer startet bei t=0 aus der Ruhe. Berechnen sie
> v(t), indem Sie die Differentialgleichung durch Trennung
> der Veränderlichen lösen.
>  Hallo zusammen,
>  
> diese Aufgabe ist bereits gelöst, jedoch verstehe ich
> einen Schritt nicht und hoffe, das mir den einer von euch
> erklären kann. Hier erstmal die Rechnung:
>  
> [mm]a=\frac{\beta}{v+v_o}[/mm]
>  [mm]\frac{dv}{dt}=\frac{\beta}{v+v_0}[/mm]
>  [mm](v+v_o)dv=\beta[/mm] dt
>  [mm]\integral{(v+v_o)dv}=\integral{\beta dt}[/mm]
>  
> [mm]\frac{v^2}{2}+v_0v=\beta[/mm] t+C
>  
> Hier setze ich die Anfangsbedingung ein v(0)=0 [mm]\rightarrow[/mm]
> C=0
>  
> [mm]\frac{1}{2}(v+v_0)^2=\frac{v_0^2}{2}+\beta[/mm] t (hier mein
> erstes Problem: woher kommt [mm]\frac{v_0^2}{2}[/mm] auf der rechten
> Seite der Gleichung?)

Das ist eine quadratische Gleichung in v und hier wurde einfach quadratische Ergänzung vorgenommen. Du könntest statt dessen auch einfach nach v(t) mit der pq- oder der Mitternachtsformel auflösen.

>  [mm]v(t)+v_0=\pm \sqrt{v_0^2+2\beta t}[/mm]
>  
> [mm]\rightarrow v(t)=v_0(\sqrt{1+\frac{2\beta t}{v_0^2}-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> (Hier mein zweites Problem: wie komme ich von dem
> vorherigen Term auf dieses Ergebnis?

Auf beiden Seiten mal 2, auf beiden Seiten Wurzel ziehen (Achtung!  $\pm$) und dann auf beiden Seiten $v_0$ subtrahieren.

Das führt auf $v(t)=\pm\sqrt{v_0^2+2 \beta t}-v_0$
Jetzt in der Wurzel $v_0^2$ ausklammern und daraus die Wurzel ziehen, zum Schluss noch insgesamt $v_0$ ausklammern. Der tiefere Sinn dieses letzten Schritts erschließt sich mir noch nicht.
Das Endergebnis hast du fehlerhaft wiedergegeben. Es sollte lauten:

$v(t)=v_0\cdot \left( \pm\sqrt{1+\frac {2 \beta t} {v_0^2}}}-1\right)$

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
DGL Trennung der Veränderliche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Sa 09.05.2015
Autor: Skyrula

Vielen Dank ;-)

Bezug
        
Bezug
DGL Trennung der Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:54 Sa 09.05.2015
Autor: fred97

Genau die gleiche Frage hast Du vor 16 Tagen schon mal gestellt:

https://matheraum.de/read?t=1056565

Antworten hast Du damals bekommen !! Was soll das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
DGL Trennung der Veränderliche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 Sa 09.05.2015
Autor: Skyrula

Ich verstehe deine unfreundliche Art nicht. Tut mir leid wenn ich dich in irgendeiner Art gekränkt haben sollte, aber die Lösung die ich damals bekommen habe war nicht 100% richtig!

Da ich den Stoff am wiederholen bin, wollte ich dazu noch einmal etwas klären.

Also falls sich jemand über mich aufregt kann ich das leider nicht verstehen weil ich am lernen bin und hey, keiner muss antworten!

MfG

Bezug
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