DGL aufstellen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | C Exercises
1. A spherical mass grows at a rate proportional to its instantaneous surface area. Assuming that the sphere has an initial radius a and that it falls from rest under the influence of gravity (no variation with distance), show that its instantaneous acceleration is
[mm] $\bruch{g}{4}\left(1+\bruch{3a^4}{r^4} \right)$
[/mm]
where r is its instantaneous radius. Thus show that a necessary and sufficient condition that the acceleration be constant is that the sphere have zero initial radius. |
Hallo,
ich habe ein Problem damit die DGL aufzustellen.
[mm] $\bruch{dm}{dt}\sim [/mm] Obfl.$
[mm] $\bruch{dm}{dt}=k*4\pi r_{t}^2$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] dm [mm] =k*4\pi*\int (r+nt)^2$
[/mm]
[mm] $m_{t}=\bruch{k}{n}*\bruch{4}{3}\pi(r+nt)^3+C$
[/mm]
[mm] $m_{t=0}=\bruch{k}{n}*\bruch{4}{3}\pi(a)^3+C$
[/mm]
C=0
[mm] $m_{t}=\bruch{k}{n}*\bruch{4}{3}\pi(a+nt)^3$
[/mm]
[mm] $F=m*a=\bruch{d}{dt}(m*v)=\dot m*v+m*\dot [/mm] v$
[mm] $\dot [/mm] v [mm] =\bruch{\dot m}{m}*v+g$
[/mm]
[mm] $\dot v_h =\bruch{\dot m}{m}*v$
[/mm]
Dann TdV & Variation der Konstanten - dachte ich.
Die DGL kann allerdings nicht stimmen - das angegebene Ergebnis kommt nicht heraus.
Für einen Tipp wäre ich dankbar.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mo 12.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei konstanter Dichte hast du doch den Zusammenhang [mm] m(t)=\rho*4\pi/3*r^3(t)
[/mm]
wieso nimmst du an, dass r(t)=r+n*tist?
ich denke darin liegt dein Fehler, und damit sind die restlichen rechnungen falsch.
( da nichts über die art des Massezuwachses gesagt ist, ist meine annshme [mm] \rho=const [/mm] ja nur ne annahme, ich dachte dabei an Wachsen von Regentropfen)
Gruss leduart
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Hallo leduart,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich hab's noch einmal versucht - komme aber immer noch nicht weiter.
[mm] $m_{(t)}=\bruch{4}{3} \pi \rho r_{(t)}^3$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] m [mm] =\rho*\dot V=\bruch{4}{3} \pi \rho*3* r_{(t)}^2*\dot [/mm] r$
[mm] $\dot [/mm] m =4 [mm] \pi \rho* r_{(t)}^2*\dot [/mm] r$
[mm] $F=m*a=\dot [/mm] m [mm] *v+m*\dot [/mm] v$
$a= [mm] \dot [/mm] v [mm] =\bruch{\dot m}{m}*v+g$
[/mm]
Das wäre dann die inhomogene DGL (?).
[mm] $\bruch{\dot m}{m}=\bruch{3}{r}*\dot [/mm] r$
[mm] $\dot [/mm] v = [mm] \bruch{\dot m}{m}*v$
[/mm]
[mm] $\int \bruch{1}{v}\ \dot [/mm] v [mm] =3*\int \bruch{1}{r} [/mm] \ dr$
$ln|v|=3*ln|r|+ln|C|$
[mm] $v_h=C*r^3$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] v = [mm] \dot [/mm] C [mm] *r^3+C*3*r^2*\dot [/mm] r$
[mm] $\dot [/mm] v [mm] =\bruch{\dot m}{m}*v+g$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] C [mm] *r^3+C*3*r^2*\dot [/mm] r = [mm] \bruch{\dot m}{m}*v+g$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] C [mm] *r^3+C*3*r^2*\dot [/mm] r = [mm] 3*\bruch{1}{r}*\dot r*C*r^3+g$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] C [mm] *r^3= [/mm] g$
[mm] $\int [/mm] dC = [mm] g*\int \bruch{1}{r_{(t)}^3} [/mm] \ dt$
Hier würde ich jetzt [mm] r_{(t)} [/mm] als (a+n*t) ausdrücken - aber es kommt nicht das in der Lösung angegebene Ergebnis heraus.
[mm] $C=-\bruch{1}{2*n}*g*(a+n*t)^{-2}+D$
[/mm]
[mm] $v=C_{(t)}*r^3$
[/mm]
[mm] $v=-\bruch{g}{2n}*(a+nt)+D(a+nt)^3$
[/mm]
[mm] $v_{(t=0)}=0=-\bruch{g}{2n}*a+Da^3$
[/mm]
[mm] $D=\bruch{g}{2n}*a^{-2}$
[/mm]
[mm] $v=-\bruch{g}{2n}*(a+nt)*\left[\bruch{(a+nt)^2}{a^2}-1 \right]$
[/mm]
Vielen Dank für's Drüberschauen,
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Calli |
> Ich hab's noch einmal versucht - komme aber immer noch
> nicht weiter.
>
>
> [mm]m_{(t)}=\bruch{4}{3} \pi \rho r_{(t)}^3[/mm]
>
> [mm]\dot m =\rho*\dot V=\bruch{4}{3} \pi \rho*3* r_{(t)}^2*\dot r[/mm]
>
> [mm]\dot m =4 \pi \rho* r_{(t)}^2*\dot r[/mm]
>
> [mm]F=m*a=\dot m *v+m*\dot v[/mm]
Das ist falsch. Richtig wäre:
[mm]F=m*g=\dot m *v+m*\dot v[/mm]
[mm]a= \dot v =g-\bruch{\dot m}{m}*v[/mm]
Das ist dann die richtige inhomogene DGL.
> [mm]\bruch{\dot m}{m}=\bruch{3}{r}*\dot r[/mm]
[mm]\dot v = \bruch{dv}{dr}* \bruch{dr}{dt}=\bruch{dv}{dr}*\dot r[/mm]
Der Trick ist also, die Zeitvariable t durch die Radiusvariable r zu ersetzen !
Ciao Calli
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Hallo Calli,
besten Dank für deinen Hinweis!
Ich hab's dann noch einmal probiert - bin aber nicht weiter gekommen:
DGL: [mm] $a=\dot [/mm] v = [mm] g-\bruch{\dot m}{m}*v$
[/mm]
[mm] $\bruch{dv}{dr}*\bruch{dr}{t}=g-\bruch{\dot m}{m}*v$
[/mm]
[mm] $v'*\dot r=-\bruch{3}{r}*\dot [/mm] r*v$
[mm] $v'=-\bruch{3}{r}*v$
[/mm]
[mm] $\int \bruch{1}{v}\ [/mm] dv = [mm] -3*\int \bruch{1}{r}\ [/mm] dr$
[mm] $v_{(r)}=\bruch{1}{r^3}*C$
[/mm]
Dieses Zwischenergebnis mutet mich seltsam an; müsste da nicht stehen: [mm] $v_{(r)} \sim r^3 \sim [/mm] V$ ?
[mm] $\dot v=\dot [/mm] C [mm] *\bruch{1}{r^3}-3*C*\bruch{1}{r^4}*\dot [/mm] r$
DGL: [mm] $\dot [/mm] v = [mm] g-\bruch{\dot m}{m}*v$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] C [mm] *\bruch{1}{r^3}-3*C*\bruch{1}{r^4}*\dot r=g-\bruch{3}{r}*\dot r*\bruch{1}{r^3}*C$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] C [mm] *\bruch{1}{r^3}=g$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] \ [mm] dC=g*\int r^3 [/mm] \ dt$
... und hier komme ich dann nicht weiter.
Was habe ich übersehen?
Vielen Dank für einen Hinweis,
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 16.07.2010 | | Autor: | gfm |
Für die Masse gilt [mm]m(t)=ar(t)^3[/mm] sowie laut Aufgabenstellung [mm]\dot{m}(t) =br(t)^2[/mm]. Beides zusammen ergibt [mm]\dot{r}(t)=b/3a=:c[/mm]. Über das Newtonsche Gesetz [mm]F=\dot{p}=\dot{m}(t)v(t)+m(t)\dot{v}(t)[/mm] mit einem [mm]F=mg[/mm] laut Aufgabenstellung erhält man [mm]g=c/3 *v(t)/r(t)+\dot{v}(t)[/mm]. Mit [mm]u(r):=v(t)|_{t=t(r)}[/mm] erhält man [mm]v(t)=u(r)|_{r=r(t)}[/mm] und [mm]\dot{v}(t)=cu'(r)|_{r=r(t)}[/mm] ([mm]'[/mm] bezeichnet die Ableitung nach [mm]r[/mm]). Damit kann man die DGL umschreiben zu [mm]g/c=3/r*u+u'[/mm]. Diese DGL hat eine partikuläre Lösung [mm]u_P(r)=g/(4c)*r[/mm] und die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist [mm]u_H(r)=Cr^{-3}[/mm]. Laut Aufgabenstellung soll [mm]u(r_0)=0[/mm] gelten. Damit nimmt die Lösung die Form [mm]u(r)=g/(4c)(r-r_0^4/r^3)[/mm] an. Differentiation nach t ergibt [mm]\dot{v}(t)=g/4*(1+3(r_0/r(t))^4)[/mm].
Wie allerdings eine Punktmasse bei einer Beschleunigung von [mm]g/4[/mm] durch Massenaufnahme über eine nichtvorhandene Oberfläche gehalten werden soll, musst Du mit jemandem anderen klären.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Fr 16.07.2010 | | Autor: | Calli |
> Hallo Calli,
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> besten Dank für deinen Hinweis!
>
> Ich hab's dann noch einmal probiert - bin aber nicht weiter
> gekommen:
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> DGL: [mm]a=\dot v = g-\bruch{\dot m}{m}*v[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{dv}{dr}*\bruch{dr}{t}=g-\bruch{\dot m}{m}*v[/mm]
>
> [mm]v'*\dot r=-\bruch{3}{r}*\dot r*v[/mm]
>
> [mm]v'=-\bruch{3}{r}*v[/mm]
Dies ist nur die homogene DGL.
Die vollständige DGL ist:
[mm]v'+\bruch{3}{r}*v=\bruch{g}{\dot r}[/mm]
> [mm]\int \bruch{1}{v}\ dv = -3*\int \bruch{1}{r}\ dr[/mm]
>
> [mm]v_{(r)}=\bruch{1}{r^3}*C[/mm]
>
> Dieses Zwischenergebnis mutet mich seltsam an; müsste da
> nicht stehen: [mm]v_{(r)} \sim r^3 \sim V[/mm] ?
Nein ! Die Lösung der homogenen DGL ist schon richtig !
> [mm]\dot v=\dot C *\bruch{1}{r^3}-3*C*\bruch{1}{r^4}*\dot r[/mm]
>
> DGL: [mm]\dot v = g-\bruch{\dot m}{m}*v[/mm]
Die Betrachtung der zeitlichen Ableitung bringt nix, da r(t) nicht bekannt ist.
Bisher wurde ja deshalb auch v(r) berechnet.
Durch 'scharfes Hingucken' auf das Störglied [mm] $\bruch{g}{\dot r}$ [/mm] kann eine partikuläre Lösung [mm] v_p [/mm] erraten werden.
Die Bestimmung der Integrationskonstante C erfolgt über die Anfangsbedingung [mm] v(r=r_0) [/mm] = 0 !
Ciao Calli
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