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| Aufgabe | [mm] \frac{m}{2}x'(t)^2+\frac{\alpha}{2}x(t)^2=E
[/mm]
mit E>0.
Berechnen Sie den Ort als Funktion der Zeit (also hier x(t))
Tipp: Nach x'(t) auflösen und dann Variablen separieren; treten Wurzel auf, so sei das richtige Vorzeichen stets +) |
Hallo!!
Ich habe mal wieder eine Frage zu Diff'gleichungen. Da ich die Vorlesung nicht besuchen kann, bin ich ziemlich unsicher in dem Thema.
Also ich befolge den Tipp und löse nach x'(t) auf:
[mm] \frac{m}{2}x'(t)^2+\frac{\alpha}{2}x(t)^2=E
[/mm]
[mm] \frac{m}{2}x'(t)^2=E-\frac{\alpha}{2}x(t)^2
[/mm]
[mm] x'(t)^2=\frac{2E}{m}-\frac{\alpha}{m}x(t)^2
[/mm]
[mm] x'(t)=\wurzel{\frac{2E}{m}-\frac{\alpha}{m}x(t)^2}
[/mm]
Wie muss ich jetzt weitermachen??
Danke Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 29.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Patrick,
am einfachsten "wie die Physiker es machen" (aber nicht weil das eine aus der Physik kommende DGl ist).
x'(t) schreibst Du als [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] und hast dann, wenn Du die Variablen getrennt hast, also alles mit x nach links und alles mit t nach rechts:
[mm] \bruch{dx}{\wurzel{\frac{2E}{m}-\frac{\alpha}{m}x^2}} [/mm] = dt und bildest dann auf beiden Seiten die Stammfunktion, links nach x, rechts nach t (Integrationskonstante nicht vergessen).
Dann nach x auflösen und Du hast x(t). (Achtung: Es gibt zwei Lösungen, eine ist konstant!)
Gruß
Uli
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Danke Dir, ich hoffe es ist dann jetzt richtig so:
[mm] \bruch{dx}{\wurzel{\frac{2E}{m}-\frac{\alpha}{m}x^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{dx}{\wurzel{(\frac{\alpha}{m})(\frac{m}{\alpha}\frac{2E}{m}-x^2})}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\wurzel{\frac{\alpha}{m}}}*\bruch{dx}{\wurzel{\wurzel{\frac{2E}{\alpha}}^2-x^2}}
[/mm]
Integrieren ergibt:
[mm] \wurzel{\frac{m}{\alpha}}*\arcsin\left( \wurzel{\frac{\alpha}{2E}} \right) [/mm] + C
Rechte Seite integriert ist ja einfach t.
Also [mm] x(t)=\wurzel{\frac{2E}{\alpha}}*\sin\left( \wurzel{\frac{\alpha}{m}} (t-c) \right) [/mm]
Stimmt das so?
Die Amplitude der Schwingung wäre dann [mm] \wurzel{\frac{2E}{\alpha}} [/mm] und die Frquenz: [mm] \wurzel{\frac{\alpha}{m}} [/mm] ??
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Hallo!
Auch das ist physikalisch klar.
Du hast da die Gleichung eines Federpendels mit kinetischer Energie [mm] \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 [/mm] und Spannenergie [mm] \frac{1}{2}Dx^2, [/mm] wobei in deiner Gleichung statt D eben [mm] \alpha [/mm] steht.
Die Summe beider Energien ist eine Konstante, genau das sagt deine DGL aus.
Wenn das Pendel maximal ausgelenkt ist, steckt die gesamte Energie in der Feder: [mm] E=\frac{1}{2}Dx_{max}^2 [/mm] , woraus man sie Amplitude [mm] x_{Max} [/mm] berechnen kann. Das paßt jedenfalls zu deiner Amplitude.
Aber vielleicht kennst du auch die Newtonsche Bewegungsgleichung für das Pendel:
[mm] m\ddot{x}+Dx=0
[/mm]
Da kommt in der Lösung auch das [mm] \sqrt{\frac{D}{m}} [/mm] für die Schwingung raus.
Also: Die Lösung ist korrekt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Sa 29.11.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Schön! 
Danke auch für die zusätzlichen Infos!
Gruß Patrick
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