matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenDGL höherer Ordnung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL höherer Ordnung
DGL höherer Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL höherer Ordnung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 01.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Aufgabe
Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem
u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0

Hallo zusammen,

bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich weiß nicht wie ich diese DGL höherer Ordnung löse...

hab das jetzt erstmal umgeschrieben in:
[mm] \lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2 -22*\lambda [/mm] +10 = 0

hab dann eine nullstelle [mm] \lambda=1 [/mm] ausgerechnet aber komme nicht weiter..

kann mir vllt jemand weiterhelfen?
Danke schonmal!
Gruß,
Kampfkekschen

        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Do 01.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Hallo,

> Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem
>  u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0
>  Hallo zusammen,
>  
> bearbeite grade folgende Aufgabe aber ich weiß nicht wie
> ich diese DGL höherer Ordnung löse...
>  
> hab das jetzt erstmal umgeschrieben in:
>  [mm]\lambda^4 -4 \lambda^3 +15*\lambda^2 -22*\lambda[/mm] +10 = 0
>  
> hab dann eine nullstelle [mm]\lambda=1[/mm] ausgerechnet aber komme
> nicht weiter..

.. liegt vielleicht daran, dass deine Nullstellen falsch sind.

Um die Nullstellen zu berechnen musst du schreiben (analog wie bei zb bei Diffgl. 2. Ordung):

[mm] \lambda^{4}-4\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda=0 [/mm]

=> [mm] \lambda(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+11)=0 [/mm]

Naja dann du hast mehrere Nullstellen:

[mm] \lambda_1=0 [/mm]
[mm] \lambda_2=2 [/mm]
[mm] \lambda_3=1+i\sqrt{10} [/mm]
[mm] \lambda_4=1-i\sqrt{10} [/mm]


anschließend errechnest du dir deine [mm] u_i(x) [/mm]

also zb: für [mm] \lambda=0 [/mm] --> [mm] u_1(x)=c_1 [/mm]


deine allgemeine Lösung hat dann mal die Form:

[mm] u(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+u_4(x) [/mm]

hast du diese dann berechnet, kannst du mit der Euler'schen Identität arbeiten [mm] e^{\alpha+i\beta}=e^{\alpha}cos{\beta}+ie^{\alpha}sin{\beta} [/mm]

und nach einiger Umformarbeit nutzt du dann dein Wissen und schreibst:

[mm] u(x)=u_c(x)+u_p(x) [/mm] und setzt ein ;)


Grundsätzlich funktioniert dieses Bsp nach "Schema F".
Also am besten lies dir deine Unterlagen nochmal genauer durch.
Die Vorgangsweise lässt sich allerdings leichter bei einer Diffgl. 2. Ordnung erklären.

>  
> kann mir vllt jemand weiterhelfen?
>  Danke schonmal!
>  Gruß,
>  Kampfkekschen

LG Scherzkrapferl

Bezug
                
Bezug
DGL höherer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 01.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Hey Scherzkrapferl,

danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch eine frage:

wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
und da bekomme ich doch dann [mm] \lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda [/mm] +10=0

oder sehe ich das falsch?

LG,
Kampfkekschen

Bezug
                        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Do 01.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Kampfkekschen,


> Hey Scherzkrapferl,
>  
> danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch
> eine frage:
>  
> wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
>  Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
>  und da bekomme ich doch dann
> [mm]\lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda[/mm] +10=0

>


Das ist nicht ganz korrekt:

[mm]\lambda^{4}-\blue{4}\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda +10=0[/mm]


> oder sehe ich das falsch?
>  
> LG,
>  Kampfkekschen


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Do 01.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Hallo,

> Hey Scherzkrapferl,
>  
> danke für deine schnelle Antwort! Habe allerdings noch
> eine frage:
>  
> wo ist bei deiner rechnung denn die +10 abgeblieben?
>  Die DGL lautet ja u^(4) -4*u^(3) +15 u'' -22u' +10u=0
>  und da bekomme ich doch dann
> [mm]\lambda^{4}-\lambda^{3}+15\lambda^2-22\lambda[/mm] +10=0
>  
> oder sehe ich das falsch?

Du musst zuerst die homogene Diffgleichung lösen. Um die Inhomogenität musst du dich später kümmern.

die allgemeine Lösung besteht ja aus Homogener- und Partikulärlösung:

[mm] u(x)=u_h(x)+u_p(x) [/mm]

>  
> LG,
>  Kampfkekschen

LG Scherzkrapferl


Bezug
                                
Bezug
DGL höherer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Fr 02.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Hallo Scherzkrapferl ,

also habe mir das "Schema F" noch einmal für eine DGL 2. Ordnung angesehen, jedoch stellt sich mir immer noch die Frage wieso meine DGL 4. Ordnung hier eine homogene und eine inhomogene Lösung hat.

Denn wenn ich die DGL 2. Ordnung u'' +13 u' +40u=0 betrachte dann berechne ich ja auch die Nullstellen von [mm] \lambda^2 +13*\lambda [/mm] +40=0 und nicht von der "homogenen" Gleichung [mm] \lambda^2 +13*\lambda [/mm]

also müsste ich doch hier von meiner DGL 4. Ordnung [mm] u^{(4)} -4*u^{(3)}+15*u''-2u'+10*u=0 [/mm] auch die Nullstellen von [mm] \lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2-22*\lambda+10=0 [/mm] berechnen oder sehe ich das immer noch falsch?

LG,
Kampfkekschen

Bezug
                                        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Fr 02.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Hallo,

> Hallo Scherzkrapferl ,
>  
> also habe mir das "Schema F" noch einmal für eine DGL 2.
> Ordnung angesehen, jedoch stellt sich mir immer noch die
> Frage wieso meine DGL 4. Ordnung hier eine homogene und
> eine inhomogene Lösung hat.
>  
> Denn wenn ich die DGL 2. Ordnung u'' +13 u' +40u=0
> betrachte dann berechne ich ja auch die Nullstellen von
> [mm]\lambda^2 +13*\lambda[/mm] +40=0 und nicht von der "homogenen"
> Gleichung [mm]\lambda^2 +13*\lambda[/mm]
>  
> also müsste ich doch hier von meiner DGL 4. Ordnung
> [mm]u^{(4)} -4*u^{(3)}+15*u''-2u'+10*u=0[/mm] auch die Nullstellen
> von [mm]\lambda^4 -4*\lambda^3 +15*\lambda^2-22*\lambda+10=0[/mm]
> berechnen oder sehe ich das immer noch falsch?

>

Also 1.:

In deiner Angabe steht doch: u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10=0 !

und nicht u^(4)-4u^(3)+15u''-22u'+10u=0

2.)

Schema einer Diffgl. 2. Ordnung mit Inhomogenität:

Gegeben sei eine Diffgl:

y''(x)+a_1y'(x)+a_2y(x)=s

Die Lösung hat stets die Gestalt: [mm] y=y_h+y_p [/mm]

[mm] y_h [/mm] ... Homogene Lösung
[mm] y_p [/mm] ... Partikulärlösung

y ... die gesuchte Lösung des Problems

Um dieses Problem nun zu lösen, wollen wir aus 1. die homogene Gleichung

y''(x)+a_1y'(x)+a_2y(x)=0

lösen.

in diesem Falle folgt:

[mm] \lambda^2+a_1\lambda+a_2=0 [/mm]


daraus errechnen wir uns die homogene Lösung

[mm] y_h=C_1e^{\lambda_1*t}+C_2e^{\lambda_2*t} [/mm]


Erst anschließend arbeiten wir mit deiner Inhomogenität s.
  

> LG,
>  Kampfkekschen

LG Scherzkrapferl


Bezug
                                                
Bezug
DGL höherer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Fr 02.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Oh tut mir leid das habe ich verbockt!! Habe in der aufgabenstellung einen Fehler eingebaut!! Sie sollte eigentlich
[mm] u^{(4)} -4\cdot{}u^{(3)}+15\cdot{}u''-2u'+10\cdot{}u=0 [/mm] lauten!
Kein Wunder, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbei reden!! Tut mir leid!


Bezug
                                                        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Fr 02.03.2012
Autor: scherzkrapferl

Hallo,

> Oh tut mir leid das habe ich verbockt!! Habe in der
> aufgabenstellung einen Fehler eingebaut!! Sie sollte
> eigentlich
> [mm]u^{(4)} -4\cdot{}u^{(3)}+15\cdot{}u''-2u'+10\cdot{}u=0[/mm]
> lauten!
>  Kein Wunder, dass wir die ganze Zeit aneinander vorbei
> reden!! Tut mir leid!
>  

Dann ist natülich [mm] \lambda^4-4\lambda^3+15\lambda^2-2\lambda+10=0 [/mm] korrekt.

Deine [mm] \lambda [/mm] jedoch "Falsch", bzw. hast du nicht alle berechnet.

[mm] \lambda_1=1 [/mm]

[mm] \lambda_2=1 [/mm]

[mm] \lambda_3=1+3i [/mm]

[mm] \lambda_4=1-3i [/mm]

LG Scherzkrapferl


Bezug
                                                                
Bezug
DGL höherer Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Di 06.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Danke für die Antwort.

Okay wenn nun also die Nullstellen lauten

[mm] \lambda_1= [/mm] 1
[mm] \lambda_2 [/mm] =1
[mm] \lambda_3 [/mm] =1+3i
[mm] \lambda_4 [/mm] =1-3i

Dann folgt

u(x)= [mm] c_1*e^x [/mm] + [mm] c_2*x*e^x +c_3*e^{(1+3i)x} +c_4*e^{(1-3i)*x} [/mm]
= [mm] c_1*e^x [/mm] + [mm] c_2*x*e^x [/mm] + [mm] c_3*e^x*cos(3x) +c_4*e^x*sin(3x) [/mm]
mit [mm] c_1,c_2,c_3,c_4 \in \IR [/mm]
ist das nun so richtig?
Gruß,
Kampfkekschen

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL höherer Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Di 06.03.2012
Autor: fred97


> Danke für die Antwort.
>  
> Okay wenn nun also die Nullstellen lauten
>  
> [mm]\lambda_1=[/mm] 1
>  [mm]\lambda_2[/mm] =1
>  [mm]\lambda_3[/mm] =1+3i
>  [mm]\lambda_4[/mm] =1-3i
>  
> Dann folgt
>
> u(x)= [mm]c_1*e^x[/mm] + [mm]c_2*x*e^x +c_3*e^{(1+3i)x} +c_4*e^{(1-3i)*x}[/mm]
>  
> = [mm]c_1*e^x[/mm] + [mm]c_2*x*e^x[/mm] + [mm]c_3*e^x*cos(3x) +c_4*e^x*sin(3x)[/mm]
>  
> mit [mm]c_1,c_2,c_3,c_4 \in \IR[/mm]
>  ist das nun so richtig?

Ja

FRED


>  Gruß,
>  Kampfkekschen


Bezug
                                                                                
Bezug
DGL höherer Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Di 06.03.2012
Autor: Kampfkekschen

Danke für die Hilfe!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]