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DGL homogen: DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Aufgabe
Da ich meistens zu beginn einer DGL Rechnung Probleme habe poste ich diese Aufgabe um die Richtigkeit zu überprüfen :

Gegeben sei folgende DGL:

x*y'(x) +y(x) = x*cos(x)

a) Bestimmen sie eine homogene Lösung mit Trennung der Veränderlichen.
b) Bestimmen sie eine partikuläre Lösung mit Variation der Konstanten .

c) Bestimmen sie die allgemeine Lösung

Ansatz:

x*y'(x) +y(x) = 0

x*y'(x) = -y(x)

x*dy/dx = -y

ln(y) = -ln(x) +C

ln(y) = [mm] ln(e^C) [/mm] -ln(x)

[mm] y=\bruch{e^C}{x} [/mm]

[mm] e^c [/mm] = C

[mm] y=\bruch{C}{x} [/mm]

Passt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
DGL homogen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 20.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Da ich meistens zu beginn einer DGL Rechnung Probleme habe
> poste ich diese Aufgabe um die Richtigkeit zu überprüfen
> :

>

> Gegeben sei folgende DGL:

>

> x*y'(x) +y(x) = x*cos(x)

>

> a) Bestimmen sie eine homogene Lösung mit Trennung der
> Veränderlichen.
> b) Bestimmen sie eine partikuläre Lösung mit Variation
> der Konstanten .

>

> c) Bestimmen sie die allgemeine Lösung

>

> Ansatz:

>

> x*y'(x) +y(x) = 0

>

> x*y'(x) = -y(x)

>

> x*dy/dx = -y

>

> ln(y) = -ln(x) +C

>

> ln(y) = [mm]ln(e^C)[/mm] -ln(x)

>

> [mm]y=\bruch{e^C}{x}[/mm]

>

> [mm]e^c[/mm] = C

>

> [mm]y=\bruch{C}{x}[/mm]

>

> Passt?

Bis auf deine hartnäckigen Fehler im Umgang mit dem Integral

[mm] \int{ \frac{dx}{x}}=ln|x|+C[/mm]

stimmt die Lösung. Die betreffende Zeile muss hier

ln|y|=-ln|x|+C

heißen, da ja kein Definitionsbereich für die Lösungfunktionen vorgegeben ist, wie beim letzten Mal.

Außerdem solltest du darauf achten, wenn du eine Konstante umdefinierst, dies durch Wechsel der verwendeten Symbole darzustellen, also etwa

[mm] c=e^C [/mm]

In der Mathematik reicht es nicht aus, das am Ende das Ergebnis passt, der Weg muss ebenfalls stimmen!

Ich würde dir für diesen Lösungsweg, so ich ihn korrigieren würde, Punkte abziehen. Aus den genannten Gründen.

Und zum Schluss, auch erneut: es gibt keine homogenen Lösungen, das ist sprachlicher Unsinn (auch wenn sich das gerade irgendwie durchzusetzen scheint). Was du berechnet hast, ist die Lösung der zuhehörigen homogenen Differenzialgleichung.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
DGL homogen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Di 20.03.2018
Autor: Cash33

Danke .

Das andere scheint analog wie die letzte Aufgabe.

Bezug
                        
Bezug
DGL homogen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Di 20.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke .

>

> Das andere scheint analog wie die letzte Aufgabe.

Die Vorgehensweise ist dieselbe, ja.


Gruß, Diophant

Bezug
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