DGL in getrennten Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Leiten Sie aus einer Differentialgleichung der Form [mm] y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm] für [mm] u(x) := \bruch{y(x)}{x} [/mm] eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen ab. |
Ich verstehe die Musterlösung hierzu nicht:
(*) [mm] u'(x) = \bruch{y'(x) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f\left(\bruch{y}{x}\right) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f(u(x)) - u(x)}{x} [/mm]
Das ist doch noch nicht als "in getrennten Variablen" dargestellt, oder? Da fehlt doch noch: [mm] \bruch{1}{x}(f(u(x)) - u(x)) [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{x}(f(u) - u) [/mm]. Oder?
Was nun in der Lösung folgt kann ich gar nicht mit der Aufgabe in Verbindung bringen:
Sei nun ein offenes Intervall [mm] J \subset \IR [/mm] mit [mm] 0 \notin J [/mm] gegeben. Dann ist [mm] u(x) := \bruch{y(x)}{x} [/mm] eine Lösung von (*).
[mm] y'(x) = (u(x) \cdot x)' = u'(x) \cdot x + u(x) = (f(u(x)) - u(x)) + u(x) = f(u(x)) = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm]
Hiermit würde ich doch maximal zeigen, dass [mm] u(x) [/mm] die Differentialgleichung löst, aber das ist doch in der Aufgabe gar nicht gefragt. Und das ist doch dann auch nicht zu zeigen, oder?
Ich denke so, weil ich in einer anderen Aufgabe einmal zeigen sollte, dass eine Differentialgleichung durch eine andere Funktion in eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen überführbar ist und in einer weiteren Teilaufgabe, dass eine andere Funktion die Differentialgleichung löst. Also beide Teile getrennt.
Weiter bezweifele ich, dass ich mit der obigen Rechnung überhaupt zeige, dass [mm] u(x) [/mm] die Differentialgleichung löst. In der grad erwähnten Aufgabe funktionierte das wie folgt:
Zeigen Sie: Ist [mm]y[/mm] eine Lösung von [mm] y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm],so ist für jedes [mm]a \not= 0[/mm] auch [mm] y_a(x) := a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right) [/mm] eine Lösung von [mm] y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm].
[mm] y_a'(x) = (a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right))' = a \cdot \bruch{1}{a} \cdot y'\left(\bruch{x}{a}\right) = f\left(\bruch{y\left(\bruch{x}{a}\right)}{\bruch{x}{a}}\right) = f\left(\bruch{a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right)}{x}\right) = f\left(\bruch{y_a(x)}{x}\right) [/mm]
Also bilde ich die Ableitung der Funktion, von der ich annehme, dass sie die Differentialgleichung löst, und weise nach, dass ich die Form, die die Differentialgleichung vorgibt, erhalte, wobei das ursprüngliche [mm]y[/mm] in der Differentialgleichung durch die zu überprüfende Funktion ersetzt wurde.
So wird bei der Ursprungsaufgabe nicht vorgegangen! Wo ist mein Denkfehler?
LG fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Leiten Sie aus einer Differentialgleichung der Form [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
> für [mm]u(x) := \bruch{y(x)}{x}[/mm] eine Differentialgleichung mit
> getrennten Variablen ab.
> Ich verstehe die Musterlösung hierzu nicht:
>
> (*) [mm]u'(x) = \bruch{y'(x) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f\left(\bruch{y}{x}\right) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f(u(x)) - u(x)}{x}[/mm]
>
> Das ist doch noch nicht als "in getrennten Variablen"
> dargestellt, oder? Da fehlt doch noch: [mm]\bruch{1}{x}(f(u(x)) - u(x))[/mm]
> bzw. [mm]\bruch{1}{x}(f(u) - u) [/mm]. Oder?
Genau das steht doch in (*): $u'= [mm] \bruch{1}{x}(f(u) [/mm] - u) $
Wo ist Dein Problem ?
>
> Was nun in der Lösung folgt kann ich gar nicht mit der
> Aufgabe in Verbindung bringen:
>
> Sei nun ein offenes Intervall [mm]J \subset \IR[/mm] mit [mm]0 \notin J[/mm]
> gegeben. Dann ist [mm]u(x) := \bruch{y(x)}{x}[/mm] eine Lösung von
> (*).
> [mm]y'(x) = (u(x) \cdot x)' = u'(x) \cdot x + u(x) = (f(u(x)) - u(x)) + u(x) = f(u(x)) = f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
>
> Hiermit würde ich doch maximal zeigen, dass [mm]u(x)[/mm] die
> Differentialgleichung löst, aber das ist doch in der
> Aufgabe gar nicht gefragt. Und das ist doch dann auch nicht
> zu zeigen, oder?
Hä ??? Unter anderem ist doch zu zeigen: ist u eine Lösung von (*), so löst $y(x):= x*u(x)$ die Gleichung $ y' = [mm] f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm] $
Genau das wurde oben gezeigt.
> Ich denke so, weil ich in einer anderen Aufgabe einmal
> zeigen sollte, dass eine Differentialgleichung durch eine
> andere Funktion in eine Differentialgleichung mit
> getrennten Variablen überführbar ist und in einer
> weiteren Teilaufgabe, dass eine andere Funktion die
> Differentialgleichung löst. Also beide Teile getrennt.
>
> Weiter bezweifele ich, dass ich mit der obigen Rechnung
> überhaupt zeige, dass [mm]u(x)[/mm] die Differentialgleichung
> löst.
Ich glaube Du verstehst das falsch. Es wurde gezeigt : wenn u eine Lösung von (*) ist, so löst $y(x):= x*u(x)$ die Gleichung $ y' = [mm] f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm] $
> In der grad erwähnten Aufgabe funktionierte das wie
> folgt:
Was jetzt kommt hat mit obigem nichts zu tun !!
>
> Zeigen Sie: Ist [mm]y[/mm] eine Lösung von [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm],so
> ist für jedes [mm]a \not= 0[/mm] auch [mm]y_a(x) := a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
> eine Lösung von [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm].
> [mm]y_a'(x) = (a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right))' = a \cdot \bruch{1}{a} \cdot y'\left(\bruch{x}{a}\right) = f\left(\bruch{y\left(\bruch{x}{a}\right)}{\bruch{x}{a}}\right) = f\left(\bruch{a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right)}{x}\right) = f\left(\bruch{y_a(x)}{x}\right)[/mm]
>
> Also bilde ich die Ableitung der Funktion, von der ich
> annehme, dass sie die Differentialgleichung löst, und
> weise nach, dass ich die Form, die die
> Differentialgleichung vorgibt, erhalte, wobei das
> ursprüngliche [mm]y[/mm] in der Differentialgleichung durch die zu
> überprüfende Funktion ersetzt wurde.
>
> So wird bei der Ursprungsaufgabe nicht vorgegangen! Wo ist
> mein Denkfehler?
Das bleibt mir verborgen. Oben wurde gezeigt: ist y eine Lösung von
$ y' = [mm] f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm] $,
dann ist auch [mm] y_a [/mm] eine Lösung dieser DGL
FRED
>
> LG fagottator
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Hallo FRED
> > (*) [mm]u'(x) = \bruch{y'(x) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f\left(\bruch{y}{x}\right) \cdot x - y(x)}{x^2} = \bruch{f(u(x)) - u(x)}{x}[/mm]
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> > Das ist doch noch nicht als "in getrennten Variablen"
> > dargestellt, oder? Da fehlt doch noch: [mm]\bruch{1}{x}(f(u(x)) - u(x))[/mm]
> > bzw. [mm]\bruch{1}{x}(f(u) - u) [/mm]. Oder?
>
> Genau das steht doch in (*): [mm]u'= \bruch{1}{x}(f(u) - u)[/mm]
>
> Wo ist Dein Problem ?
Ich denke, ich hab das nur zu engstirnig gesehen. Ich hätte halt gern die Form [mm] y' = f(x) \cdot g(y) [/mm] gehabt. Klar steht die Lösung schon in Stern. Hab ich halt nicht gesehen... Sorry :-(
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> > Was nun in der Lösung folgt kann ich gar nicht mit der
> > Aufgabe in Verbindung bringen:
> >
> > Sei nun ein offenes Intervall [mm]J \subset \IR[/mm] mit [mm]0 \notin J[/mm]
> > gegeben. Dann ist [mm]u(x) := \bruch{y(x)}{x}[/mm] eine Lösung von
> > (*).
> > [mm]y'(x) = (u(x) \cdot x)' = u'(x) \cdot x + u(x) = (f(u(x)) - u(x)) + u(x) = f(u(x)) = f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
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> >
> > Hiermit würde ich doch maximal zeigen, dass [mm]u(x)[/mm] die
> > Differentialgleichung löst, aber das ist doch in der
> > Aufgabe gar nicht gefragt. Und das ist doch dann auch nicht
> > zu zeigen, oder?
>
> Hä ??? Unter anderem ist doch zu zeigen: ist u eine
> Lösung von (*), so löst [mm]y(x):= x*u(x)[/mm] die Gleichung [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
Aber warum ist das zu zeigen?!? Wo steht das? Da steht lediglich:
"Leiten Sie aus einer DGL der Form [...] eine DGL mit getrennten Variblen ab." Impliziert das etwa, das ich zeigen muss, dass die mir gegebene Funktion [mm] u(x) [/mm] überhaupt die DGL löst?
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> Genau das wurde oben gezeigt.
> > Ich denke so, weil ich in einer anderen Aufgabe einmal
> > zeigen sollte, dass eine Differentialgleichung durch eine
> > andere Funktion in eine Differentialgleichung mit
> > getrennten Variablen überführbar ist und in einer
> > weiteren Teilaufgabe, dass eine andere Funktion die
> > Differentialgleichung löst. Also beide Teile getrennt.
> >
> > Weiter bezweifele ich, dass ich mit der obigen Rechnung
> > überhaupt zeige, dass [mm]u(x)[/mm] die Differentialgleichung
> > löst.
>
> Ich glaube Du verstehst das falsch. Es wurde gezeigt :
> wenn u eine Lösung von (*) ist, so löst [mm]y(x):= x*u(x)[/mm]
> die Gleichung [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
Ok, mit der Erklärung kann ich leben  Dass das so gezeigt wurde sehe ich. Bleibt für mich nur die Frage, ob ich das bei der (obigen) Aufgabenstellung überhaupt zeigen muss... :-(
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> > In der grad erwähnten Aufgabe funktionierte das wie
> > folgt:
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>
> Was jetzt kommt hat mit obigem nichts zu tun !!
Das weiß ich! 
> >
> > Zeigen Sie: Ist [mm]y[/mm] eine Lösung von [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm],so
> > ist für jedes [mm]a \not= 0[/mm] auch [mm]y_a(x) := a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
> > eine Lösung von [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm].
> >
> [mm]y_a'(x) = (a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right))' = a \cdot \bruch{1}{a} \cdot y'\left(\bruch{x}{a}\right) = f\left(\bruch{y\left(\bruch{x}{a}\right)}{\bruch{x}{a}}\right) = f\left(\bruch{a \cdot y\left(\bruch{x}{a}\right)}{x}\right) = f\left(\bruch{y_a(x)}{x}\right)[/mm]
>
> >
> > Also bilde ich die Ableitung der Funktion, von der ich
> > annehme, dass sie die Differentialgleichung löst, und
> > weise nach, dass ich die Form, die die
> > Differentialgleichung vorgibt, erhalte, wobei das
> > ursprüngliche [mm]y[/mm] in der Differentialgleichung durch die zu
> > überprüfende Funktion ersetzt wurde.
> >
> > So wird bei der Ursprungsaufgabe nicht vorgegangen! Wo ist
> > mein Denkfehler?
>
> Das bleibt mir verborgen. Oben wurde gezeigt: ist y eine
> Lösung von
>
> [mm]y' = f\left(\bruch{y}{x}\right) [/mm],
>
> dann ist auch [mm]y_a[/mm] eine Lösung dieser DGL
Da hast du ja auch Recht! Das war ja auch zu zeigen! Nur, weil ich die Aussage in der obigen Aufgabe nicht verstanden habe, wollte ich diese Rechnung dazu in Kontrast setzen. Aber beide verfolgen das gleiche Ziel! Das hab ich oben nur nicht gesehen
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> FRED
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LG fagottator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 13.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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