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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des Differentialgleichungssystems
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] y_{2} [/mm] + exp(x) |
Hallo Forengemeinde,
Leider komme ich an einer Stelle nicht weiter.
Also ich schreibe zuerst das homogene System auf.
Dann bestimme ich das char. Polynom und die Nullstellen davon und erhalte eine doppelte Nullstelle nämlich:
t = 1.
Da es zu diesem Eigenwert nur ein Eigenvektor (1 [mm] 0)^{T} [/mm] existiert, kann ich das Fundamentalsystem nicht aufstellen.
Meine Frage lautet:
Es gibt ja noch eine Nullstelle [mm] t=-i^{2} [/mm] aber sie ist nicht reell.
Also muss ich dann für diesen komplexen Eigenwert den Eigenvektor aufstellen und erhalte ich dadurch den zweiten linear unabh. Eigenvektor?
MfG
encephalon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich weiß nicht, wie ihr gelernt habt das zu lösen, aber kannst du nicht die 2. Gleichung nach [mm] y_2 [/mm] auflösen, das in die 1. einsetzen und diese dann nach [mm] y_1 [/mm] auflösen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Do 15.07.2010 | | Autor: | encephalon |
Hi,
also um es zu lösen, muss ich auf jeden fall zwei linear unabhängige Eigenvektoren für zwei versch. Eigenwerte bekommen(So haben wir das bis jetzt immer gemacht).
Um dann das Fundamentalsystem zu bilden.
Durch "Variation der Konstanten" erhalte ich dann die Lösung.
Nur in dieser Aufgabe, kriege ich eine doppelte Nullstelle des char. Polynoms.
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Hallo encephalon,
> Bestimmen Sie alle Lösungen des
> Differentialgleichungssystems
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]y_{2}[/mm] + exp(x)
> Hallo Forengemeinde,
>
> Leider komme ich an einer Stelle nicht weiter.
> Also ich schreibe zuerst das homogene System auf.
> Dann bestimme ich das char. Polynom und die Nullstellen
> davon und erhalte eine doppelte Nullstelle nämlich:
> t = 1.
> Da es zu diesem Eigenwert nur ein Eigenvektor (1 [mm]0)^{T}[/mm]
> existiert, kann ich das Fundamentalsystem nicht
> aufstellen.
Ein Lösung hast Du ja schon gefunden:
[mm]\pmat{1 \\ 0}*e^{x}[/mm]
Für einen zweite linear unabshängige Lösung des homogenen DGL-Systems
[mm]y_{1}' = y_{1} + y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}' = y_{2}[/mm]
[mm]\gdw \pmat{y_{1}' \\ y_{2}'}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1} \pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
setze an mit
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2}}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)*e^{x}[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b} \in \IR^{2}[/mm]
>
>
> Meine Frage lautet:
>
> Es gibt ja noch eine Nullstelle [mm]t=-i^{2}[/mm] aber sie ist nicht
> reell.
> Also muss ich dann für diesen komplexen Eigenwert den
> Eigenvektor aufstellen und erhalte ich dadurch den zweiten
> linear unabh. Eigenvektor?
>
> MfG
> encephalon
>
Gruss
MathePower
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Hi,
Danke.
Dann habe ich also dieses System:
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] a_{1}*exp(x) [/mm] + [mm] b_{1}*x*exp(x)
[/mm]
[mm] y_{2} [/mm] = [mm] a_{2}*exp(x) [/mm] + [mm] b_{2}*x*exp(x)
[/mm]
Dann überführe ich es in eine Matrix:
[mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \pmat{ exp(x) & x*exp(x) \\ exp(x) & x*exp(x) }
[/mm]
Bestimme die Inverse von [mm] \Phi(x) [/mm] und multipliziere die Inverse mit dem Vektor [mm] \vektor{0 \\ exp(x)}
[/mm]
und dann nur noch die Stammfunktion davon bilden.
Ist dann diese Vorgehensweise korrekt?
MfG
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Hallo encephalon,
> Hi,
> Danke.
>
> Dann habe ich also dieses System:
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]a_{1}*exp(x)[/mm] + [mm]b_{1}*x*exp(x)[/mm]
> [mm]y_{2}[/mm] = [mm]a_{2}*exp(x)[/mm] + [mm]b_{2}*x*exp(x)[/mm]
Das ist der Ansatz, den Du machen musst, um eine zweite
linear unabhängige Lösung des homogenen DGL-Systems zu finden.
Hier sind dann [mm]\overrightarrow{a}=\pmat{a_{1} \\ a_{2}}[/mm] und
[mm]\overrightarrow{b}=\pmat{b_{1} \\ b_{2}}[/mm] zu bestimmen.
Diese bekommst Du heraus, wenn Du den Ansatz in das
homogene DGL-System einsetzt.
>
> Dann überführe ich es in eine Matrix:
>
> [mm]\Phi(x)[/mm] = [mm]\pmat{ exp(x) & x*exp(x) \\ exp(x) & x*exp(x) }[/mm]
>
> Bestimme die Inverse von [mm]\Phi(x)[/mm] und multipliziere die
> Inverse mit dem Vektor [mm]\vektor{0 \\ exp(x)}[/mm]
> und dann nur
> noch die Stammfunktion davon bilden.
>
> Ist dann diese Vorgehensweise korrekt?
>
> MfG
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
also ich habe jetzt für
[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
und für [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
Wie gehts denn jetzt weiter?
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Hallo encephalon,
> Hallo,
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> also ich habe jetzt für
>
> [mm]\vektor{a_{1} \\ a_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und für
> [mm]\vektor{b_{1} \\ b_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
>
> Wie gehts denn jetzt weiter
Überprüfe zunächst, ob
[mm]\pmat{1 \\ 1}*\left(1+x\right)*e^{x}[/mm]
eine Lösung von
[mm]\pmat{y_{1}' \\ y_{2} '}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}*\pmat{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
ist.
Wenn Du die richtigen Fundamentallösungen hast,
dann machst Du zur Bestimmung der Lösung des inhomogenen
DGL-Systems die Konstanten von x abhängig.
Wenn
[mm]Y_{h}\left(x\right)=c_{1}*L_{1}\left(x\right)+c_{2}*L_{2}\left(x\right)[/mm]
das homogene DGL-System löst, dann machst Du für das inhomogene
DGL-System den Ansatz:
[mm]Y_{p}\left(x\right)=c_{1}\blue{\left(x\right)}*L_{1}\left(x\right)+c_{2}\blue{\left(x\right)}*L_{2}\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo,
bin ein wenig verwirrt und Müde.
Ich verstehe dieses Prinzip nicht ganz.
Vllt. könntest du mir nur zeigen, wie ich mit dem Ansatz den zweiten lin. unabhängigen Eigenvektor rauskriege(mit den Rechenschritten).
Den Rest würde ich natürlich selber noch nachrechnen und dann diese Lösung hier bereitstellen.
Ich wäre dankbar dafür.
MfG
encephalon
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Hallo encephalon,
> Hallo,
>
> bin ein wenig verwirrt und Müde.
> Ich verstehe dieses Prinzip nicht ganz.
> Vllt. könntest du mir nur zeigen, wie ich mit dem Ansatz
> den zweiten lin. unabhängigen Eigenvektor rauskriege(mit
> den Rechenschritten).
> Den Rest würde ich natürlich selber noch nachrechnen und
> dann diese Lösung hier bereitstellen.
Sei das homogene DGL-System mit
[mm]y' =A*y, \ y \in \IR^{2}, \ A \in M_{2,2} \left(\IR\right)[/mm]
und [mm]\lambda[/mm] ein doppelter Eigenwert von A.
Eine Lösung hiervon ist offensichtlich: [mm]L_{1}\left(x\right)=\overrightarrow{v}*e^{\lambda*x}[/mm],
wobei [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist.
Nun, ist [mm]\lambda[/mm] ein doppelter Eigenwert. Demnach wird noch eine
zweite linear unabhängige Lösung von der schon vorhandenen Lösung benötigt.
Dies erreicht man mit dem Ansatz:
[mm]L_{2}\left(x\right)=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)*e^{\lambda*x}[/mm]
Eingesetzt in das DGL-System ergibt:
[mm]\left(\overrightarrow{b}+\lambda*\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)\right)*e^{\lambda*x}=A*\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)*e^{\lambda*x}[/mm]
Dies ist äquivalent mit
[mm]\left(\overrightarrow{b}+\lambda*\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)\right)=A*\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}*x\right)[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich folgt nun:
[mm]\overrightarrow{b}+\lambda*\overrightarrow{a}=A*\overrightarrow{a}[/mm]
[mm]\lambda*\overrightarrow{b}=A*\overrightarrow{b}[/mm]
Die Vektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] müssen
daher folgende Bedingungsgleichungen erfüllen:
[mm]\overrightarrow{b}=\left(A-\lambda*E\right)*\overrightarrow{a}[/mm]
[mm]\overrightarrow{0}=\left(A*-\lambda*E\right)*\overrightarrow{b}[/mm]
,wobei [mm]E=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm] ist.
Bei näherem Betrachten stellt man fest, daß
[mm]\overrightarrow{b} \in \operatorname{Kern}\left(A-\lambda*E\right)[/mm]
und
[mm]\overrightarrow{a} \in \operatorname{Kern}\left(\left(A-\lambda*E\right)^ {2}\right), \ \overrightarrow{a} \notin \operatorname{Kern}\left(A-\lambda*E\right)[/mm]
Die zweite linear unabhängige Lösung kann daher auch so geschrieben werden:
[mm]L_{2}\left(x\right)=\left( \overrightarrow{a}+\left(A-\lambda*E\right)*\overrightarrow{a}*x\right)*e^{\lambda*x}[/mm]
> Ich wäre dankbar dafür.
>
> MfG
> encephalon
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen vielen Dank.
Ich hoffe jetzt ist es Richtig.
Also die zweite lin. unabhängige Lösung lautet ja:
$ [mm] L_{2}\left(x\right)=\left( \overrightarrow{a}+\left(A-\lambda\cdot{}E\right)\cdot{}\overrightarrow{a}\cdot{}x\right)\cdot{}e^{\lambda\cdot{}x} [/mm] $
So d.h in meinem Fall:
[mm] \vektor{0 \\ 1+x}*e^{x}
[/mm]
Dann lässt sich durch die ,,Variation der Konstanten" eine inhomogene Lsg. finden.
Es gilt:
[mm] Y_{P} [/mm] = [mm] c_{1}(x)*e^{x}*\vektor{1 \\0} [/mm] + [mm] c_{2}(x)*e^{x}*\vektor{0 \\ 1+x}
[/mm]
[mm] Y_{P}' [/mm] = [mm] e^{x}\vektor{1 \\ 0}*(c_{1}'(x)+c_{1}(x)) [/mm] + [mm] e^{x}*\vektor{0 \\ 1+x}*(c_{2}'(x)+c_{2}(x))
[/mm]
= [mm] c_{1}'(x)*e^{x}\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{2}'(x)*e^{x}*\vektor{0 \\ 1+x} [/mm] + [mm] A*Y_{P} [/mm] - d(x)
also
d(x) = [mm] \vektor{0 \\ e^{x}} [/mm] = [mm] c_{1}'(x)*e^{x}\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_{2}'(x)*e^{x}*\vektor{0 \\ 1+x}
[/mm]
Auflösen des linearen Gleichungssystems liefert folgendes:
[mm] c_{1}'(x)= [/mm] 0
[mm] c_{2}'(x) [/mm] = 1/(1+x)
Also sind
[mm] c_{1}(x) [/mm] = 0
[mm] c_{2}(x) [/mm] = log|1+x|
die Lösungen des inhomogenen Differentialgleichungssystem.
Bitte nur um eine Bestätigung, ob es richtig ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 So 18.07.2010 | | Autor: | Calli |
>...
> Bitte nur um eine Bestätigung, ob es richtig ist.
Hallo, ob richtig oder falsch, das kannst Du doch selber überprüfen !
Erfüllen Deine Lösungen das DGL-System ? Z.B.:
$y'_1= [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 \quad [/mm] ?$
Zu der Rechnerei mit Matrizen, Eigenwerten und Eigenvektoren kann ich Nix sagen.
Mit 'konventioneller' Rechnerei erhalte ich:
[mm] $y_1=(\bruch{x^2}{2}+C_2\; x+C_1)\ e^x$
[/mm]
und
[mm] $y_2=(x+C_2)\ e^x$,
[/mm]
womit z.B. die Gleichung für $y'_1$ erfüllt wird.
Ciao Calli
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