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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL m. Potenzreihenansatz
DGL m. Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL m. Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Mi 21.09.2011
Autor: Reen1205

Aufgabe
Gegeben sei die Differentialgleichung [mm] \left(1-x^2 \right) y''-xy' + 9y=0[/mm].

Alle Polynome vom 3ten Grad ([mm]y(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]), welche Lösugnen dieser Differentialgleichung sind.

Ich habe bei dieser Aufgabe ersteinmal die Klammer gelöst und komme auf [mm] y''-x^2y''-xy'+9y=0 [/mm]
Als nächsten Schritt wollte ich die DGL mit den Potenzreihenansätzen lösen. Also habe ich die DGL umgeschrieben in
[mm] \sum_{n=0}^{N} \left(n+1\right){n+2}a_{\left(n+2\right)} - \sum_{n=0}^{N} n*\left(n-1\right)a_n - \sum_{n=1}^{N}n*a_n + \sum_{n=1}^{N} 9 a_n[/mm]

Nun habe ich versucht die Koeffizienten herauszufinden indem ich mir die ganzen Summen bis N=4 anschaue. Also N=0 ist:

[mm] 2a_2 - 0 - 0 + 9a_0 = 0[/mm] folglich ist [mm]a_0=\frac{-2}{9}[/mm]
[mm] N=1: a_1 = \frac{-3}{4}a_3\quad N=2: a_2=\frac{-12}{5}a_4\quad N=3: a_5=0\quad N=4: a_4=\frac{30}{7}a_6\quad [/mm]
Bei den Potenzreihenansätzen die ich bisher gerehcnet habe, viel irgendwann etwas weg oder ich konnte etwas mit was anderem ersetzen. Vielleicht sehe ich auch gerade nicht den richtigen Clou. Vielleicht könnt ihr mich auf den richtigen Weg schubsen.

Gruß

        
Bezug
DGL m. Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mi 21.09.2011
Autor: wauwau

setze doch einfach wie in der Aufgabe gegeben das Polynom 3. Grades in die DGL ein und vergleiche dann die Koeffizienten!!!

(Lösung in etwa: [mm] $y=ax^3-\frac{3}{5}ax$) [/mm]

Bezug
                
Bezug
DGL m. Potenzreihenansatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Mi 21.09.2011
Autor: Reen1205

Also habe ich [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d \quad y'=3ax^2+2bx+c \quad y''=6ax+2b [/mm]

Alles in die DGL eingefügt ergibt sich das zu:(erstmal die KLammer aufgelöst anschließend eingesetzt)
[mm] y''-x^2y''-xy'+9y=0[/mm]
und Eingesetzt
[mm] 6ax+2b-x^2(6ax+2b)-x(3ax^292bx9c)+9(ax^3+bx^2+cx+d)=0[/mm]

Dann alles nach absteigenden Potenzen geordnet:
[mm] (-6ax^3-3ax^3+9ax^3)+(2bx^2-2bx^2+9bx^2)+(6ax-cx+9ax)+(2b+9d)=0[/mm]

Bekomme ich dann hier raus: [mm] a=1;\quad b=0;\quad c=\frac{-6}{8}a:\quad d=0[/mm] Und das "a" könnte ich mir frei wählen weil es für die Gleichung eh keinen Unterschied macht?!

Bezug
                        
Bezug
DGL m. Potenzreihenansatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mi 21.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Reen1205,


> Also habe ich [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d \quad y'=3ax^2+2bx+c \quad y''=6ax+2b[/mm] [ok]
>  
> Alles in die DGL eingefügt ergibt sich das zu:(erstmal die
> KLammer aufgelöst anschließend eingesetzt)
>  [mm]y''-x^2y''-xy'+9y=0[/mm]
>  und Eingesetzt
>  [mm]6ax+2b-x^2(6ax+2b)-x(3ax^292bx9c)+9(ax^3+bx^2+cx+d)=0[/mm]
>  
> Dann alles nach absteigenden Potenzen geordnet:
>  
> [mm](-6ax^3-3ax^3+9ax^3)+(\red{-}2bx^2-2bx^2+9bx^2)+(6ax-cx+9\red{a}x)+(2b+9d)=0[/mm]

Da muss ein "[mm]\red{-}[/mm]" hin und hinten [mm]9\red{c}x[/mm]

>  
> Bekomme ich dann hier raus: [mm]a=1;\quad b=0;\quad c=\frac{-6}{8}a:\quad d=0[/mm] ( [ok])
> Und das "a" könnte ich mir frei wählen weil es für die
> Gleichung eh keinen Unterschied macht?!

Dann musst du das für [mm]a=1[/mm] aber auch bei [mm]c[/mm] entsprechend anpassen

Also [mm]y=ax^3-\frac{3}{4}ax[/mm] mit [mm]a\in\IR[/mm] ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
DGL m. Potenzreihenansatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Mi 21.09.2011
Autor: Reen1205

Dankeschön! Ich und meine Vorzeichenfehler :D

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