DGL mit Anfangsbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 So 27.08.2006 | | Autor: | felix85 |
| Aufgabe | | Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung [mm]y'=1+\bruch{y}{x}+\bruch{y^2}{x^2}[/mm] mit der Anfangsbedingung [mm]y(x_0)=y_0[/mm] mit [mm]x_0 > 0[/mm]. |
Guten Abend!
An obiger Aufgabe beisse ich mir z.Z. leider die Zähne aus.
Von welchem Typ ist die DGL? Habe die DGL mal als Riccatti-DGL aufgefasst, doch leider muss man dazu ja eine Lösung raten und das ist mir bisher nicht gelungen. Gibt es dafür eine bestimmte Vorgehensweise?
Wie könnte man die DGL noch interpretieren? Oder gibt es eine einfache Umformung die nur noch nicht erkannt habe?
Einen schönen Abend noch und Gruß
Ingo
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 27.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!
bei der gleichung musst du nur substituieren:
z:= [mm] \frac{y}{x}
[/mm]
dann folgt z' = [mm] \frac{y'x-y}{x²} [/mm] = [mm] \frac{1+z²}{x}
[/mm]
(für y'= 1 + z + z² und für y=zx eingesetzt.)
nun kann man die DGL nach der Methode der "getrennt Veränderlichen" lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{1+z²} dz} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}\frac{1}{x} [/mm] dx
dann kommt man auf die lösungsfunktion: y(x)= x tan(ln|x|+c) und AWP nicht vergessen!
viele grüße, riley =)
ps: hast du die aufgabe aus einem buch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 28.08.2006 | | Autor: | felix85 |
Hallo Riley!
Vielen Dank für deine Antwort. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht ...
Wenn ich jetzt nach C auflöse erhalte ich [mm]C=arctan \bruch{x_0}{y_0} -ln(x_0) [/mm]. Ist es das? Eingesetzt in y erhalte ich [mm]y=y_0[/mm].
Habe die Aufgabe von irgend'nem ÜB, weiß leider nicht mehr genau woher die kommt.
Viele Grüße
Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Felix!
für die konstante bekomm ich:
[mm] x_0 tan(ln|x_0|+c [/mm] = [mm] y_0 [/mm] , d.h. c= [mm] arctan(\frac{y_0}{x_0}) [/mm] - [mm] ln(x_0)
[/mm]
weiß nicht, vielleicht ist das bei dir nur ein tippfehler, du hast [mm] \frac{x_0}{y_0} [/mm] geschrieben, muss andersrum sein!
also y= x tan(ln|x| + [mm] arctan(\frac{y_0}{x_0}) [/mm] - [mm] ln(x_0) [/mm]
viele grüße
riley =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 28.08.2006 | | Autor: | felix85 |
Hi!
Hast recht, hab's nur verdreht.
Gruß
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 31.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Hi Riley,
du schreibst das z' = [mm] \bruch{y'x - y}{x^2} [/mm] ist. S wit so gut, aber wenn ich die Werte dann eintareg dann kommt doch [mm] \bruch{(1+z+z^2)*x - zx}{x^2} [/mm] raus. Damit müsste sich ja der Nenner komplett rauskürzen weil ja im Zähler 2 x da sind. Du hast aber ein x im Nenner stehen. Könntest du mir vllt. erklären wie du auf deine Gleichung kommst. Wäre echt nett von dir.
Mfg fisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Do 31.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo fisch
Nein [mm] x^{2} [/mm] kürzt sich NICHT (Aus summen kürzen nur die D.....) Wenn dus nicht anders siehst, klammer im Zähler erst x aus!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Do 31.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Ja stimmt hab gar nicht daran gedacht. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
MfG fisch
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