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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo,
ich hab so das Gefühl, in meiner Rechnung steckt irgendwo nen dicker Bock drin, kann da vielleicht mal jemand drüberschauen?
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Funktion y: [mm] \|R \to \|R, [/mm] die das folgende Anfangswertproblem
[mm] y''+16y=\sinh(2t) [/mm] mit y(0^+)=1, y'(0^+)=2
löst.
Meine Rechnung:
der obige Ausdruck korrespondier mit
[mm] s^2Y(s)-sy(0^+)-y'(0^+)+16Y(s)=\bruch{2}{s^2-4}
[/mm]
Nach Y(s) umgeformt
Y(s) = [mm] \bruch{2}{(s^2-4)(s^2+16)}+\bruch{2}{s^2+^6}+\bruch{s}{s^2+16}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}+\bruch{2}{s^2+^6}+\bruch{s}{s^2+16}
[/mm]
für den dritten Buch ergibt sich rücktransformiert [mm] \cos(4t)
[/mm]
PBZ für den ersten Bruch
[mm] \bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}=\bruch{1}{s-2}+\bruch{b}{s+2}+\bruch{cs+d}{s^2+16}
[/mm]
[mm] 2=a(s+2)(s^2+16)+b(s-2)(s^2+16)+(cs+d)(s-2)(s+2)
[/mm]
Mit s=2 ergibt sich für [mm] a=\bruch{1}{40}
[/mm]
Mit s=-2 ergibt sich für [mm] b=-\bruch{1}{40}
[/mm]
und mit s=4j ergibt sich 2=(4cj+d)(4j-2)(4j+2)=(4cj+d)(-20)=-20d-80cj
und daraus für [mm] d=-\bruch{1}{10} [/mm] und für c=0
also
[mm] \bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}=\bruch{1}{s-2}+\bruch{b}{s+2}+\bruch{cs+d}{s^2+16}=\bruch{1}{40}*\bruch{1}{(s-2)}-\bruch{1}{40}*\bruch{1}{(s+2)}-\bruch{1}{10}*\bruch{1}{(s^2+16)}
[/mm]
So und nu kann da wohl irgendwo irgendwas nicht stimmen - [mm] \bruch{1}{(s^2+16)} [/mm] krieg ich nich rücktransformiert, genauso wie ich ja auch noch den ursprünglichen Term [mm] \bruch{2}{s^2+16} [/mm] hab.
Wo hab ich da Bockmist gebaut oder irgendwas übersehen?
Lieben Gruß
Sanne
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Hallo Sanne,
> Hallo,
>
> ich hab so das Gefühl, in meiner Rechnung steckt irgendwo
> nen dicker Bock drin, kann da vielleicht mal jemand
> drüberschauen?
>
> Aufgabenstellung:
>
> Bestimmen Sie die Funktion y: [mm]\|R \to \|R,[/mm] die das folgende
> Anfangswertproblem
> [mm]y''+16y=\sinh(2t)[/mm] mit y(0^+)=1, y'(0^+)=2
> löst.
>
> Meine Rechnung:
>
> der obige Ausdruck korrespondier mit
>
> [mm]s^2Y(s)-sy(0^+)-y'(0^+)+16Y(s)=\bruch{2}{s^2-4}[/mm]
>
> Nach Y(s) umgeformt
>
> Y(s) =
> [mm]\bruch{2}{(s^2-4)(s^2+16)}+\bruch{2}{s^2+^6}+\bruch{s}{s^2+16}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}+\bruch{2}{s^2+^6}+\bruch{s}{s^2+16}[/mm]
>
> für den dritten Buch ergibt sich rücktransformiert
> [mm]\cos(4t)[/mm]
hier hast Du benutzt:
[mm]Y^{ - 1} \left( {\frac{s}
{{s^2 \; + \;a^2 }}} \right)\; = \;\cos \;a\;t[/mm]
>
> PBZ für den ersten Bruch
>
> [mm]\bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}=\bruch{1}{s-2}+\bruch{b}{s+2}+\bruch{cs+d}{s^2+16}[/mm]
>
> [mm]2=a(s+2)(s^2+16)+b(s-2)(s^2+16)+(cs+d)(s-2)(s+2)[/mm]
>
> Mit s=2 ergibt sich für [mm]a=\bruch{1}{40}[/mm]
> Mit s=-2 ergibt sich für [mm]b=-\bruch{1}{40}[/mm]
>
> und mit s=4j ergibt sich
> 2=(4cj+d)(4j-2)(4j+2)=(4cj+d)(-20)=-20d-80cj
> und daraus für [mm]d=-\bruch{1}{10}[/mm] und für c=0
>
> also
>
> [mm]\bruch{2}{(s+2)(s-2)(s^2+16)}=\bruch{1}{s-2}+\bruch{b}{s+2}+\bruch{cs+d}{s^2+16}=\bruch{1}{40}*\bruch{1}{(s-2)}-\bruch{1}{40}*\bruch{1}{(s+2)}-\bruch{1}{10}*\bruch{1}{(s^2+16)}[/mm]
>
> So und nu kann da wohl irgendwo irgendwas nicht stimmen -
> [mm]\bruch{1}{(s^2+16)}[/mm] krieg ich nich rücktransformiert,
> genauso wie ich ja auch noch den ursprünglichen Term
> [mm]\bruch{2}{s^2+16}[/mm] hab.
Für diesen Ausdruck gibt es auch eine Rücktransformierte:
[mm]Y^{ - 1} \left( {\frac{a}
{{s^2 \; + \;a^2 }}} \right)\; = \;\sin \;a\;t[/mm]
Natürlich mußt Du da noch einen konstanten Faktor ausklammern, daß dies paßt.
>
> Wo hab ich da Bockmist gebaut oder irgendwas übersehen?
>
> Lieben Gruß
> Sanne
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Sanne |
Dooof, Doooof, Dooooof *gegen den Kopp hau*
Ich bin echt nicht drauf gekommen, dass ich da ja einfach was ausklammern kann, dass es passt :-/
Dank dir auf jeden Fall!
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