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DGL mit Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 01.10.2010
Autor: folken

Aufgabe
Lösen Sie das DGL System:

y' = My , mit M = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]

und der Anfangsbedingung y(0) = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm]

Hallo,

eigentlich dachte ich, dass ich das Thema Differentialgleichungen verstanden habe, aber in Kombination mit Matrizen hab ich doch das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll. Ein Ansatz wäre eine große Hilfe.

        
Bezug
DGL mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 Fr 01.10.2010
Autor: wieschoo

Hi,

du versuchst
[mm]\vektor{y_1' \\ y_2'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } *\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
zu lösen. Wobei M = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]
Eine Lösung des AWP ist [mm]e^M[/mm] Wobei dies die Matrixexponentialfunktion ist.

nächste Schritte:
* Diagonalisiere M (oder eventuell Jordannormalform)
* [mm]S^{-1}MS=D[/mm] mit D ist Diagonalmatrix, dann [mm]e^M=e^{S^{-1}MS}=S^{-1}e^D*S[/mm]
* AWP einsetzen



Bezug
                
Bezug
DGL mit Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Fr 01.10.2010
Autor: fred97


> Hi,
>  
> du versuchst
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2'}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } *\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
>  
> zu lösen. Wobei M = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>  Eine Lösung
> des AWP ist [mm]e^M[/mm] Wobei dies die Matrixexponentialfunktion
> ist.



Vielleicht meinst Du das Richtige, dennoch ist obiges Quark ( und hilft damit niemandem)


Korrekt geht das so:

1. [mm] e^M [/mm] ist eine konstante Matrix, und somit natürlich keine Lösung des AWPs

2. Die Spalten  der (nichtkonstanten) Matrix  [mm] e^{xM} [/mm] bilden ein Fundamentalsystem des Systems $y'=My$.

3. Ist [mm] y_0 \in \IR^2, [/mm] so ist $y(x)= [mm] e^{xM}y_0$ [/mm] die eindeutig bestimmte Lösung des AWPs

                         $y'=My$, [mm] $y(0)=y_0$ [/mm]


FRED


>  
> nächste Schritte:
>  * Diagonalisiere M (oder eventuell Jordannormalform)
>  * [mm]S^{-1}MS=D[/mm] mit D ist Diagonalmatrix, dann
> [mm]e^M=e^{S^{-1}MS}=S^{-1}e^D*S[/mm]
>  * AWP einsetzen
>  
>  


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DGL mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Fr 01.10.2010
Autor: fred97

M hat die Eigenwerte [mm] \alpha [/mm]  und [mm] \beta [/mm]

Berechne diese ! Du wirst sehen, sie sind verschieden.

Sei u ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \alpha [/mm]  und sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \beta [/mm]
Berechne solche !

Setze $y(x):= [mm] e^{\alpha x}*u$ [/mm] und [mm] $z(x):=e^{\beta x}v$ [/mm]

Wie lautet nun die allgemeine Lösung des Systems $y'=My$ ?

Wie lautet dann die Lösung desAWPs ?

FRED

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DGL mit Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Fr 01.10.2010
Autor: folken

Danke für eure Antworten.

Also müsste doch die Allgemeine Lösung das hier sein:

[mm] y(x)=c_{1}*\vektor{e^x \\ e^x}+c_{2}*\vektor{e^-x \\ -e^-x} [/mm]

und die Lösung des AWPs das hier:

[mm] y(x)=\vektor{e^x \\ e^x}+\bruch{1}{2}*\vektor{e^-x \\ -e^-x} [/mm]

Oder habe ich das falsch verstanden?


Bezug
                        
Bezug
DGL mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Fr 01.10.2010
Autor: MathePower

Hallo folken,

> Danke für eure Antworten.
>  
> Also müsste doch die Allgemeine Lösung das hier sein:
>  
> [mm]y(x)=c_{1}*\vektor{e^x \\ e^x}+c_{2}*\vektor{e^-x \\ -e^-x}[/mm]


Schreibe längere Exponenten immer in geschweiften Klammern:

e^{-x}

Das ergibt dann:

[mm]y(x)=c_{1}*\vektor{e^x \\ e^x}+c_{2}*\vektor{e^{-x} \\ -e^{-x}}[/mm]


Stimmt. [ok]


>  
> und die Lösung des AWPs das hier:
>  
> [mm]y(x)=\vektor{e^x \\ e^x}+\bruch{1}{2}*\vektor{e^-x \\ -e^-x}[/mm]


Setze für x=0 ein und berechne y(0).

Dann wirst Du sehen. daß die Lösung des AWPs lautet:

[mm]y(x)=\red{\bruch{1}{2}}\vektor{e^x \\ e^x}+\bruch{1}{2}*\vektor{e^-x \\ -e^-x}[/mm]


>  
> Oder habe ich das falsch verstanden?

>


Gruss
MathePower  

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DGL mit Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 01.10.2010
Autor: folken

Aufgabe
x' = 2x+y ,  y' = 2*y , x(0)=y(0)=1


Oh hab das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] vergessen. Kann ich die oben stehende Aufgabe auf dem gleichen Weg lösen oder macht man das hier anders?

Wenn ja, dann bekomme ich hier als allgemeine Lösung:

[mm] c_{1}*e^{2*x}*\vektor{1 \\ 0}+c_{2}*e^{2*x}*\vektor{1 \\ 0} [/mm]

Das kann aber eigentlich nicht sein oder?

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DGL mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Fr 01.10.2010
Autor: MathePower

Hallo folken,

> x' = 2x+y ,  y' = 2*y , x(0)=y(0)=1
>  
> Oh hab das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] vergessen. Kann ich die oben
> stehende Aufgabe auf dem gleichen Weg lösen oder macht man
> das hier anders?
>  
> Wenn ja, dann bekomme ich hier als allgemeine Lösung:
>  
> [mm]c_{1}*e^{2*x}*\vektor{1 \\ 0}+c_{2}*e^{2*x}*\vektor{1 \\ 0}[/mm]


Statt diesem x sollte man doch lieber t nehmen, da x eine Lösungsfunktion ist.


>  
> Das kann aber eigentlich nicht sein oder?


Richtig, das kann nicht sein, da die Lösungen linear abhängig voneinander sind.

Hier kannst Du zuerst die DGL

[mm]y'=2*y[/mm]

lösen.

Und dann mit dieser Lösung y die DGL

[mm]x'=2*x+y[/mm]

lösen.

Wenn Du aber das DGL-System

[mm]\pmat{x' \\ y'}=\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}\pmat{x \\ y}[/mm]

auf dem bisher bekannten Wege lösen willst, dann stellst Du
zunächst fest, daß die Matrix

[mm]\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}[/mm]

einen doppelten Eigenwert hat.

Nun, eine Lösung dieses Systems hast Du bereits gefunden:  [mm]e^{2*t}*\vektor{1 \\ 0}[/mm]

Eine zweite, linear unabhängige Lösung ergibt sich durch den Ansatz

[mm]\pmat{x \\ y}=\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm]

Damit gehst Du in das DGL-System rein, und ermittelst so die Vektoren  [mm]\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}[/mm].


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
DGL mit Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Fr 01.10.2010
Autor: folken

Danke für deine Antwort.

> Eine zweite, linear unabhängige Lösung ergibt sich durch
> den Ansatz
>  
> [mm]\pmat{x \\ y}=\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm]
>  
> Damit gehst Du in das DGL-System rein, und ermittelst so
> die Vektoren  [mm]\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}[/mm].
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Könntest du mir das bitte etwas genauer erklären, was ich damit machen soll.

> Damit gehst Du in das DGL-System rein

Was meinst du damit genau?


Bezug
                                                        
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DGL mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Fr 01.10.2010
Autor: MathePower

Hallo folken,

> Danke für deine Antwort.
>  
> > Eine zweite, linear unabhängige Lösung ergibt sich durch
> > den Ansatz
>  >  
> > [mm]\pmat{x \\ y}=\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm]
>  
> >  

> > Damit gehst Du in das DGL-System rein, und ermittelst so
> > die Vektoren  [mm]\overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{b}[/mm].
>  
> >  

> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Könntest du mir das bitte etwas genauer erklären, was ich
> damit machen soll.
>  
> > Damit gehst Du in das DGL-System rein
>  
> Was meinst du damit genau?
>  


Nun den Ansatz in das gegebene DGL-System

[mm]\pmat{x' \\ y'}=\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}\pmat{x \\ y}[/mm]

einsetzen.

Definieren wir [mm]Z:=\pmat{x \\ y}[/mm], dann schreibt sich dies so:

[mm]Z'=\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}Z[/mm]

Für Z setzt Du nun [mm]\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm] ein:

[mm]\left( \ \left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t} \ \right)'=\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}*\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm]

Setzen wir nun [mm]A:=\pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}[/mm], dann ist.

[mm]\left( \ \left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t} \ \right)'=A*\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)*e^{2*t}[/mm]

Hieraus kannst Du dann durch Koeffizientenvergleich
die unbekannten Vektoren ermitteln.


Gruss
MathePower

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