DGL mit Norm < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Es sei [mm] $v:\IR^n\rightarrow\IR^n$ [/mm] ein [mm] $C^\infty$-Vektorfeld [/mm] mit $<v(x),x>=0$ für alle $x$ mit $||x||=1$. [mm] ($<\cdot,\cdot>$ [/mm] ist das übliche Skalarprodukt). Beweisen Sie, dass jede maximale Lösung von
[mm] $\frac{dx}{dt}=v(x)$ [/mm] mit $||x(0)||=1$
auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist und stets $||x(t)||=1$ erfüllt. |
Hi!
Ich habe einen Ansatz für die Lösung obiger Frage, aber ich empfinde ihn als unzureichend. Ich dachte, erst zeige ich, dass $||x(t)||=1$ für alle $t$ ist, der globale Existenzsatz liefert mir meiner Meinung nach [mm] $\IR$ [/mm] als maximales Definitionsintervall:
[mm] $(||x||^2)'='=2=2$
[/mm]
Mit dem Anfangswertproblem $||x(0)||=1$ und obiger Bedingung verschwindet die rechte Seite meiner Differentialgleichung, es liegt also sowas wie ein Gleichgewichtspunkt vor.
Das Blöde, was ich jetzt finde, ist, dass ich ja keine autonome Differentialgleichung habe - ja noch nicht mal eine, die von [mm] $||x||^2$ [/mm] abhängt.
Wie kann ich dieses Problem lösen?
Grüße, Harris
PS: Ich habe zu dieser Aufgabenstellung hier schonmal ne Frage gestellt. Mein damaliger Ansatz hat zu nichts geführt (er war ja auch komplett dumm) und die Fälligkeit ist inzwischen abgelaufen und ich könnte nur noch Mitteilungen senden. Deswegen eröffne ich hier einen neuen Thread.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Do 02.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]v:\IR^n\rightarrow\IR^n[/mm] ein [mm]C^\infty[/mm]-Vektorfeld mit
> [mm]=0[/mm] für alle [mm]x[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]. ([mm]<\cdot,\cdot>[/mm] ist das
> übliche Skalarprodukt). Beweisen Sie, dass jede maximale
> Lösung von
> [mm]\frac{dx}{dt}=v(x)[/mm] mit [mm]||x(0)||=1[/mm]
> auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist und stets [mm]||x(t)||=1[/mm] erfüllt.
> Hi!
>
> Ich habe einen Ansatz für die Lösung obiger Frage, aber
> ich empfinde ihn als unzureichend. Ich dachte, erst zeige
> ich, dass [mm]||x(t)||=1[/mm] für alle [mm]t[/mm] ist, der globale
> Existenzsatz liefert mir meiner Meinung nach [mm]\IR[/mm] als
> maximales Definitionsintervall:
>
> [mm](||x||^2)'='=2=2[/mm]
> Mit dem Anfangswertproblem [mm]||x(0)||=1[/mm] und obiger Bedingung
> verschwindet die rechte Seite meiner Differentialgleichung,
> es liegt also sowas wie ein Gleichgewichtspunkt vor.
Gleichgewichtspunkt ist falsch, wir sind ja hier in n Dimensionen. Auf der Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugel liegt das Vektorfeld v tangential zu dieser Oberfläche. Daher bleibt die Länge des Vektors x konstant; die Lösungskurve liegt auf eben dieser Oberfläche.
> Das Blöde, was ich jetzt finde, ist, dass ich ja keine
> autonome Differentialgleichung habe - ja noch nicht mal
> eine, die von [mm]||x||^2[/mm] abhängt.
Das verstehe ich nicht: [mm]\frac{dx}{dt}=v(x)[/mm] ist eine autonome DGL.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
