DGL mit Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Giordano/Weir: Differential Equations, a modelling approach, 1994
EXERCISES 9.3
In problems 7 - 30 find two linearly independent solutions in powers of x for the given differential equation. Begin by finding only the first four terms in the series solution, thereby obtaining a polynomial function approximating the analytical solution. Then find a closed form solution, if possible.
10. [mm] $y''-3y'+2y\;=\;0$ [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich habe da ein Problem mir dieser Aufgabe. Vielleicht könnt Ihr mir weiterhelfen.
[mm] $y''-3y'+2y\;=\;0$
[/mm]
Potenzreihenansatz: $y(x) [mm] \;=\;\sum_{n=0}^{\infty} c_n*x^n$
[/mm]
Zwei mal ableiten, Indexverschiebung, Einsetzen in DGL:
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)c_{n+2}*x^n-3*\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}*x^n+2*\sum_{n=0}^{\infty} c_n*x^n\;=\;0$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)c_{n+2}-3*\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}+2*\sum_{n=0}^{\infty} c_n\;=\;0$
[/mm]
Rekursionsformel: [mm] $(n+2)(n+1)*c_{n+2}\;=\;3*(n+1)*c_{n+1}-2 *c_n$
[/mm]
Die ersten Terme: [mm] $y(x)\;=c_0*\;\left(1-x^2-x^3 \pm ...\right)\;+\;c_1*\left(x+\frac{3}{2}*x^2+\frac{7}{6}*x^3 \pm ...\right)$
[/mm]
, welche mit der Lösung im Lösungsbuch übereinstimmen.
Auf "normalen" Weg, über die charakteristische Gleichung, habe ich:
[mm] $y(x)\;=\; A*e^x+B*e^{2x}$
[/mm]
Als Potenzreihen: [mm] $y(x)\;=\;A*\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\;+ ...\right)+B*\left(1+\frac{(2x)}{1!}+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}\;+ ...\right)$
[/mm]
Wo habe ich einen Fehler gemacht?
Vielen Dank für eine Antwort!
LG, Martinius
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 15.03.2025 | | Autor: | Infinit |
Hallo Martinius,
bis zu Deiner Rekursionsformal kann ich die Rechnung noch nachvollziehen, wie Du dann aber auf die Darstellung mit den unendlichen Reihen kommst, weiß ich nicht so genau. Vieleicht habe ich hier auch einen Schritt zu wenig nachgedacht.
In der Aufgabe war doch die Lösung für die ersten 4 Potenzen deiner Potenzreihe gefordert, die bei 0 beginnt und demzufolge bei 3 endet.
Welche Koeffzienten fließen denn dabei als Vorfaktoren zu x ein?
Für [mm] x^0 [/mm] hast Du doch aus Deiner DGL die Bedingung
[mm] 2 \cdot 1 c_2 - 3\cdot 1 c_1 +2 c_0 = 0 [/mm]
und entsprechend für die Potenzen von 1 bis 3 die Gleichungen
[mm]
\begin{matrix}
3 \cdot 2 c_3 - 3 \cdot 2 c_2 + 2 c_1 & = & 0 \nonumber\\
4 \cdot 3 c_4 - 3 \cdot 3 c_3 + 2 c_2 & = & 0 \nonumber\\
5 \cdot 4 c_5 - 3 \cdot 4 c_4 + 2 c_3 & = & 0 \nonumber
\end{matrix}
[/mm]
Da keine Randbedingungen bei dieser Aufgabe existieren, sind diese Koeffzienten frei wählbare Parameter. Du kannst die Koeffizienten aber in Abhängigkeit von [mm] c_0 [/mm] und [mm] c_1 [/mm] darstellen.
Deine exakte Lösung durch Bestimmung der charakteristischen Gleichung stimmt auch, aber, ich glaube, dies hat dich irre gemacht, diese Koeffizienten A und B sind nicht gleich den Koeffizienten aus Deiner Approximationslösung.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 So 16.03.2025 | | Autor: | statler |
> Giordano/Weir: Differential Equations, a modelling
> approach, 1994
>
> EXERCISES 9.3
>
> In problems 7 - 30 find two linearly independent solutions
> in powers of x for the given differential equation. Begin
> by finding only the first four terms in the series
> solution, thereby obtaining a polynomial function
> approximating the analytical solution. Then find a closed
> form solution, if possible.
>
> 10. [mm]y''-3y'+2y\;=\;0[/mm]
> Hallo liebe Leute,
>
> ich habe da ein Problem mir dieser Aufgabe. Vielleicht
> könnt Ihr mir weiterhelfen.
>
> [mm]y''-3y'+2y\;=\;0[/mm]
>
> Potenzreihenansatz: [mm]y(x) \;=\;\sum_{n=0}^{\infty} c_n*x^n[/mm]
>
> Zwei mal ableiten, Indexverschiebung, Einsetzen in DGL:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)c_{n+2}*x^n-3*\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}*x^n+2*\sum_{n=0}^{\infty} c_n*x^n\;=\;0[/mm]
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)c_{n+2}-3*\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)c_{n+1}+2*\sum_{n=0}^{\infty} c_n\;=\;0[/mm]
>
> Rekursionsformel:
> [mm](n+2)(n+1)*c_{n+2}\;=\;3*(n+1)*c_{n+1}-2 *c_n[/mm]
>
> Die ersten Terme: [mm]y(x)\;=c_0*\;\left(1-x^2-x^3 \pm ...\right)\;+\;c_1*\left(x+\frac{3}{2}*x^2+\frac{7}{6}*x^3 \pm ...\right)[/mm]
>
> , welche mit der Lösung im Lösungsbuch übereinstimmen.
>
> Auf "normalen" Weg, über die charakteristische Gleichung,
> habe ich:
>
> [mm]y(x)\;=\; A*e^x+B*e^{2x}[/mm]
>
> Als Potenzreihen:
> [mm]y(x)\;=\;A*\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\;+ ...\right)+B*\left(1+\frac{(2x)}{1!}+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}\;+ ...\right)[/mm]
>
> Wo habe ich einen Fehler gemacht?
Nirgends!
In [mm]y(x)\;=\;A*\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\;+ ...\right)+B*\left(1+\frac{(2x)}{1!}+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}\;+ ...\right)[/mm]
ist doch [mm] $\frac{A}{n!} [/mm] + [mm] \frac{2^{n}}{n!}$ [/mm] der Koeffizient von [mm] $x^{n}$, [/mm] und für diese Koeffizienten gilt genau deine Rekursionsformel, wie man leicht nachrechnet. Da auch die beiden ersten Glieder der Koeffizientenfolgen bei geeigneter Wahl von A und B (A = [mm] 2c_{0} [/mm] - [mm] c_{1}, [/mm] B = [mm] c_{1} [/mm] - [mm] c_{0}) [/mm] übereinstimmen, stimmen dann auch die Potenzreihen überein.
Gruß Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 16.03.2025 | | Autor: | Martinius |
Hallo Infinit, hallo Dieter,
ich möchte mich bei Euch beiden für Eure Antworten sehr herzlich bedanken!
Ich konnte alles nachrechnen & ich habe die Vorgehensweise verstanden.
Liebe Grüße, Martinius
|
|
|
|
