DGL mit Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Sa 16.05.2009 | | Autor: | Crispy |
| Aufgabe | Gegeben Sei dir DGL
[mm]f'(x)=1+f(x)^2[/mm]
mit der Anfangsbedingung [mm]f(0)=a_0[/mm].
Bestimme eine Lösung des AWP in einer Kreisscheibe um 0 mit dem Potenzreihenansatz. |
[mm]f(z)= \summe_{k=0}^{\infty}a_k z^k[/mm], [mm]f(z)^2= \summe_{k=0}^{\infty}a_k^2 z^{2k}[/mm], [mm]f'(z)= \summe_{k=0}^{\infty}a_{k+1} (k+1) z^{k}[/mm]
Eingesetzt ergibt das:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k+1} (k+1) x^{k}- \summe_{k=0}^{\infty}a_k^2 x^{2k}-1=0[/mm]
Das Zusammenfassen der entsprechenden Potenzen bringt:
[mm]a_1-(a_0)^2-1=0[/mm]
[mm]3 * a_3 x^2-(a_1)^2 x^2=0 \Rightarrow 3 * a_3 =(a_1)^2[/mm]
[mm]5 * a_5 x^4-(a_2)^2 x^4=0 \Rightarrow 5 * a_5 =(a_2)^2[/mm]
Außerdem
[mm](a_1)^2 = a_2[/mm],[mm](a_2)^2 = a_4[/mm], usw
Unabhängig davon habe ich berechnet, dass die Lösung der Gleichung [mm] tan(x) [/mm] ist, welcher folgende Taylorentwicklung besitzt:
[mm]x+\bruch{1}{3}*x^3+\bruch{2}{15}*x^5+O(x^7) [/mm] (bei [mm]f(0)=0[/mm] )
Das [mm]a_1 = 1[/mm] und [mm]a_3 = \bruch{1}{3}[/mm] passt noch, beim [mm]a_5[/mm] stimmts aber nicht mehr.
Wo ist der Fehler?
Außerdem habe ich ein Problem die Anfangsbedingung [mm]f(0)=a_0[/mm] entsprechend einzubauen.
Kann mit jemand helfen?
Besten Dank,
Crispy
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Hallo Crispy,
> Gegeben Sei dir DGL
> [mm]f'(x)=1+f(x)^2[/mm]
> mit der Anfangsbedingung [mm]f(0)=a_0[/mm].
> Bestimme eine Lösung des AWP in einer Kreisscheibe um 0
> mit dem Potenzreihenansatz.
> [mm]f(z)= \summe_{k=0}^{\infty}a_k z^k[/mm], [mm]f(z)^2= \summe_{k=0}^{\infty}a_k^2 z^{2k}[/mm],
> [mm]f'(z)= \summe_{k=0}^{\infty}a_{k+1} (k+1) z^{k}[/mm]
>
> Eingesetzt ergibt das:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k+1} (k+1) x^{k}- \summe_{k=0}^{\infty}a_k^2 x^{2k}-1=0[/mm]
>
> Das Zusammenfassen der entsprechenden Potenzen bringt:
> [mm]a_1-(a_0)^2-1=0[/mm]
> [mm]3 * a_3 x^2-(a_1)^2 x^2=0 \Rightarrow 3 * a_3 =(a_1)^2[/mm]
> [mm]5 * a_5 x^4-(a_2)^2 x^4=0 \Rightarrow 5 * a_5 =(a_2)^2[/mm]
>
> Außerdem
> [mm](a_1)^2 = a_2[/mm],[mm](a_2)^2 = a_4[/mm], usw
>
> Unabhängig davon habe ich berechnet, dass die Lösung der
> Gleichung [mm]tan(x)[/mm] ist, welcher folgende Taylorentwicklung
> besitzt:
> [mm]x+\bruch{1}{3}*x^3+\bruch{2}{15}*x^5+O(x^7)[/mm] (bei [mm]f(0)=0[/mm] )
> Das [mm]a_1 = 1[/mm] und [mm]a_3 = \bruch{1}{3}[/mm] passt noch, beim [mm]a_5[/mm]
> stimmts aber nicht mehr.
> Wo ist der Fehler?
Nun, der Fehler liegt bei der Reihe [mm]f(z)^2= \summe_{k=0}^{\infty}a_k^2 z^{2k}[/mm].
Es ist
[mm]f^{2}\left(z\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_k z^k*\summe_{l=0}^{\infty}a_l z^l=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}a_k a_{l}z^{k+l}[/mm]
Jetzt sortieren wir nach den Potenzen von z.
Dazu setzten wir [mm]k+l=n \Rightarrow l=n-k [/mm]
Dann ist
[mm]f^{2}\left(z\right)=\summe_{n=0}^{\infty}\left( \ \summe_{k=0}^{n}a_{k}*a_{n-k} \ \right) z^{n}[/mm]
Dies zusammen mit der Reihe für [mm]f'\left(z\right)[/mm]
setzt Du jetzt in die DGL ein.
>
> Außerdem habe ich ein Problem die Anfangsbedingung [mm]f(0)=a_0[/mm]
> entsprechend einzubauen.
Nun, dann sind die weiteren Koeffizienten von [mm]a_{0}[/mm] abhängig.
>
> Kann mit jemand helfen?
> Besten Dank,
> Crispy
Gruß
MathePower
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Also ich muss auch diese Aufgabe lösen und habe das Problem, dass ich einfach nicht drauf komm wie ich die Folge [mm] a_n [/mm] rekursiv definieren kann.
also als erstes habe ich auch, dass [mm] a_1=1+a_0² [/mm]
(das bekomme ich wenn ich f´(z) und f(z)² als Potenzreihen in die Diffgleichung einsetze, n=0 aus der Summe ziehe und z=0 einsetzte)
und danach bekomme ich noch [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \left( \bruch{1}{n+1} \right)*\sum_{i=1}^{n} (a_{n-i}*a_i)
[/mm]
dann hab ich noch die Idee, dass ich [mm] a_0=-1 [/mm] setzte und dann rekursiv definiere, aber komm einfach auf nichts.
Hab versucht einfach mal [mm] a_2 [/mm] bis [mm] a_5 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_0 [/mm] zu definieren, in dem ich es einfach n=1 bis n=4 in die Gleichung für [mm] a_{n+1} [/mm] eingesetzt habe, aber wie gesagt fällt mir nichts ein, wie ich die Folge rekursiv definieren könnte, auch wenn ich [mm] a_0=-1 [/mm] setzte
Danke,
lg
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Hallo Stellerin,
> Also ich muss auch diese Aufgabe lösen und habe das
> Problem, dass ich einfach nicht drauf komm wie ich die
> Folge [mm]a_n[/mm] rekursiv definieren kann.
>
> also als erstes habe ich auch, dass [mm]a_1=1+a_0²[/mm]
> (das bekomme ich wenn ich f´(z) und f(z)² als Potenzreihen
> in die Diffgleichung einsetze, n=0 aus der Summe ziehe und
> z=0 einsetzte)
>
> und danach bekomme ich noch [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\left( \bruch{1}{n+1} \right)*\sum_{i=1}^{n} (a_{n-i}*a_i)[/mm]
Das muß doch hier so heißen:
[mm]a_{n+1} = \left( \bruch{1}{n+1} \right)*\sum_{i= \red{0} }^{n} (a_{n-i}*a_{i})[/mm]
>
> dann hab ich noch die Idee, dass ich [mm]a_0=-1[/mm] setzte und
> dann rekursiv definiere, aber komm einfach auf nichts.
> Hab versucht einfach mal [mm]a_2[/mm] bis [mm]a_5[/mm] in Abhängigkeit von
> [mm]a_0[/mm] zu definieren, in dem ich es einfach n=1 bis n=4 in die
> Gleichung für [mm]a_{n+1}[/mm] eingesetzt habe, aber wie gesagt
> fällt mir nichts ein, wie ich die Folge rekursiv definieren
> könnte, auch wenn ich [mm]a_0=-1[/mm] setzte
[mm]a_{n+1} = \left( \bruch{1}{n+1} \right)*\sum_{i=0}^{n} (a_{n-i}*a_i)[/mm]
ist doch schon eine rekursive Folge.
Du meinst vielleicht eine explizite Vorschrift,
wie die Folgenglieder zu bilden sind.
>
> Danke,
> lg
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower
aber ich habe doch n=0 aus der Summe gezogen damit ich dann auf [mm] a_1=1+a_0² [/mm] komme... Dann darf doch n=o auch nicht mehr in dei Summe und sie beginnt dann bei 1 oder?
und ja ich hätte schon gerne eine explizite Vorschrift für die Folge, denn diese Folge als Summe definiert bringt mir ja nichts, oder?
Darf ich dann für [mm] a_0 [/mm] einen beliebigen Wert wählen wie z.b. 0?! und welcher wäre vorteilhaft?
Es müsste ja eigentlich die Summendarstellung des Tangens am Ende rauskommen, wenn ich mich nicht recht täusche.
Denn man muss danach auch noch sagen ob die Funktion in dem Bereich [mm] \IC\setminus (\pi/2+k\pi) [/mm] analytisch fortsetzbar ist.
Wie kann ich das dann anstellen?
Fragen über Fragen
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 So 17.05.2009 | | Autor: | Stellerin |
ich nehme den ersten Teil zurück,
natürlich muss die Summe bei i=0 beginnen und das habe ich bei meiner Berechnung auch gemacht...
aber das Problem ist eher die explizite Darstellung und ob ich für [mm] a_0 [/mm] einen beliebeigen Wert, wie z.b. [mm] a_0=0 [/mm] setzten darf?
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Hallo Stellerin,
> Hallo MathePower
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> aber ich habe doch n=0 aus der Summe gezogen damit ich dann
> auf [mm]a_1=1+a_0²[/mm] komme... Dann darf doch n=o auch nicht mehr
> in dei Summe und sie beginnt dann bei 1 oder?
Nein.
Berechne hier [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}\summe_{l=0}^{\infty}a_{l}*z_{l}[/mm]
Welche Reihenglieder der Potenzreihe von f werden benötigt,
um das n. Reihenglied der Potenzreihe von [mm]f^{2}[/mm] zu berechnen?
>
> und ja ich hätte schon gerne eine explizite Vorschrift für
> die Folge, denn diese Folge als Summe definiert bringt mir
> ja nichts, oder?
Hier gibt es nur für spezielle [mm]a_{0}[/mm] eine explizite Vorschrift.
Für alle anderen [mm]a_{0}[/mm] bleibt es bei der rekursiven Vorschrift.
> Darf ich dann für [mm]a_0[/mm] einen beliebigen Wert wählen wie
> z.b. 0?! und welcher wäre vorteilhaft?
Für eine explizite Vorschrift, bietet sich [mm]a_{0}=0[/mm] an.
>
> Es müsste ja eigentlich die Summendarstellung des Tangens
> am Ende rauskommen, wenn ich mich nicht recht täusche.
> Denn man muss danach auch noch sagen ob die Funktion in dem
> Bereich [mm]\IC\setminus (\pi/2+k\pi)[/mm] analytisch fortsetzbar
> ist.
> Wie kann ich das dann anstellen?
Nun für [mm]a_{0}=0[/mm] kommt in der Tat, die Potenzreihe des Tangens heraus.
> Fragen über Fragen
> LG
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>
Gruß
MathePower
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