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| Aufgabe | Stanley J. Farlow / AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS / 1994 / Dover Verlag
Problems: Section 6.9
Numerical Solution of Higher-Order Equations
For Problems 4 - 8, rewrite the given higher-order equationas as a system of first-order equations and find the approximate solution at t = 0,1 using the Runge-Kutta method.If you have access to a microcomputer with a differential equation package, evaluate the solution on the intervall [0,1] with step size h = 0,1.
5. [mm] $\ddot y+t*\dot [/mm] y+y = 0$
y(0)=1 und [mm] $\dot [/mm] y(0) = 0$ |
Hallo liebe Leute,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht auf das richtige Ergebnis. Vielleicht kann mir einer von euch meine Fehler aufzeigen.
Im Lösungsbuch steht:
Zwischenergebnisse: [mm] $k_1=0$ [/mm] und [mm] $j_1=-1$
[/mm]
sowie [mm] $k_2=-0,05$ [/mm] und [mm] $j_2=-0,9975$
[/mm]
sowie [mm] $k_3 \approx [/mm] -0,0499$ und [mm] $j_3 \approx [/mm] -0,9950$
sowie [mm] $k_4 \approx [/mm] -0,0995$ und [mm] $j_4 \approx [/mm] -0,9851$
Endergebnis für t = 0,1
[mm] $y(0,1)=x_1(0,1)=0,9950$ [/mm] und [mm] $x(0,1)=x_2(0,1) [/mm] = -0,0995$
Zwischen- & Endergebnisse sind alle richtig - ich habe sie nachgerechnet.
Ich habe:
[mm] $x_1=y$ [/mm] und [mm] $x_2= \dot [/mm] y$
ergibt:
[mm] $\dot x_1 [/mm] = [mm] \dot [/mm] y = [mm] x_2 [/mm] = x$
[mm] $\dot x_2 [/mm] = [mm] -x_1 [/mm] - [mm] t*x_2$
[/mm]
oder auch:
[mm] $\dot [/mm] y = x$
[mm] $\dot [/mm] x = -y-t*x$ mit y(0)=1 und [mm] $\dot [/mm] y(0)=x(0) =0$
Nun soll sein:
$f(t,x,y)= x$ und $g(t,x,y)=-y-t*x$
Erste Zwischenwerte:
[mm] $k_1=f(t_0,x_0,y_0)=x_0 [/mm] = 0$
[mm] $j_1=g(t_0,x_0,y_0)=-y_0-t_0*x_0=-1-0=-1$
[/mm]
, die noch richtig sind. Bei allen weiteren komme ich nicht auf die richtigen Zahlenwerte Z.B.:
[mm] $k_2 [/mm] = [mm] f(t_0+\frac{h}{2};x_0+\frac{h}{2}*k_1;y_0+\frac{h}{2}*j_1) [/mm] = [mm] x_0+\frac{h}{2}*k_1= 0+\frac{h}{2}*0 [/mm] = 0$
Habt vielen Dank für Eure Mühe.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Sa 18.07.2026 | | Autor: | meili |
Hallo Martinius,
> Stanley J. Farlow / AN INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL
> EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS / 1994 / Dover Verlag
>
> Problems: Section 6.9
>
> Numerical Solution of Higher-Order Equations
>
> For Problems 4 - 8, rewrite the given higher-order
> equationas as a system of first-order equations and find
> the approximate solution at t = 0,1 using the Runge-Kutta
> method.If you have access to a microcomputer with a
> differential equation package, evaluate the solution on the
> intervall [0,1] with step size h = 0,1.
>
> 5. [mm]\ddot y+t*\dot y+y = 0[/mm]
>
> y(0)=1 und [mm]\dot y(0) = 0[/mm]
> Hallo liebe Leute,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht auf das richtige
> Ergebnis. Vielleicht kann mir einer von euch meine Fehler
> aufzeigen.
>
> Im Lösungsbuch steht:
>
> Zwischenergebnisse: [mm]k_1=0[/mm] und [mm]j_1=-1[/mm]
>
> sowie [mm]k_2=-0,05[/mm] und [mm]j_2=-0,9975[/mm]
>
> sowie [mm]k_3 \approx -0,0499[/mm] und [mm]j_3 \approx -0,9950[/mm]
>
> sowie [mm]k_4 \approx -0,0995[/mm] und [mm]j_4 \approx -0,9851[/mm]
>
> Endergebnis für t = 0,1
>
> [mm]y(0,1)=x_1(0,1)=0,9950[/mm] und [mm]x(0,1)=x_2(0,1) = -0,0995[/mm]
>
> Zwischen- & Endergebnisse sind alle richtig - ich habe sie
> nachgerechnet.
>
> Ich habe:
>
> [mm]x_1=y[/mm] und [mm]x_2= \dot y[/mm]
>
> ergibt:
>
> [mm]\dot x_1 = \dot y = x_2 = x[/mm]
>
> [mm]\dot x_2 = -x_1 - t*x_2[/mm]
>
> oder auch:
>
> [mm]\dot y = x[/mm]
>
> [mm]\dot x = -y-t*x[/mm] mit y(0)=1 und [mm]\dot y(0)=x(0) =0[/mm]
>
> Nun soll sein:
>
> [mm]f(t,x,y)= x[/mm] und [mm]g(t,x,y)=-y-t*x[/mm]
Aber man müßte es in Vektor-/ Matrixschreibweise darstellen:
[mm] \vektor{\dot x \\ \dot y} = \pmat{ -t & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{ x \\ y} [/mm]
>
> Erste Zwischenwerte:
>
> [mm]k_1=f(t_0,x_0,y_0)=x_0 = 0[/mm]
>
> [mm]j_1=g(t_0,x_0,y_0)=-y_0-t_0*x_0=-1-0=-1[/mm]
[mm] \vektor{j_1 \\ k_1} = \pmat{ -t_0 & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{ 0 \\ 1} =\vektor{ -1 \\ 0} [/mm]
>
> , die noch richtig sind. Bei allen weiteren komme ich nicht
> auf die richtigen Zahlenwerte Z.B.:
>
> [mm]k_2 = f(t_0+\frac{h}{2};x_0+\frac{h}{2}*k_1;y_0+\frac{h}{2}*j_1) = x_0+\frac{h}{2}*k_1= 0+\frac{h}{2}*0 = 0[/mm]
[mm] \vektor{j_2 \\ k_2} = \pmat{ - \left( t_0+\bruch{h}{2} \right) & -1 \\ 1 & 0 }\vektor{ 0+\bruch{h}{2}*j_1 \\ 1+\bruch{h}{2}*k_1} =\vektor{ -0,9975 \\ -0,05} [/mm]
>
> Habt vielen Dank für Eure Mühe.
>
> LG, Martinius
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 21.07.2026 | | Autor: | Martinius |
Hallo meili,
ich möchte mich bei Dir sehr herzlich bedanken für Deine Antwort!
Mithilfe Deiner genialen Matrizen/Vektor Methode konnte ich die Zwischenwerte richtig & zeitsparend berechnen.
Zu meiner Freude konnte ich mit Deiner Rechenvorschrift noch zwei weitere Systeme mit nichtlinearen DGLen 1. Ordnung lösen.
Liebe Grüße. Martinius
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| Aufgabe | Farlow / p. 389 / Example 2
[mm] $\dot [/mm] x= x- x*y$ mit [mm] x_0=2
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] y = -y+x*y$ mit [mm] y_0=1
[/mm]
step-size: h=0,1 |
Hallo meili, hallo liebe Leute,
diese Aufgabe wird im Lehrbuch richtig & ausführlich vorgerechnet - aber nicht mit meilis Vektor/Matrix-Methode.
Ich würde die Aufgabe aber gerne mit dieser Methode gelöst bekommen.
Ich würde mich darüber sehr freuen, wenn mir jemand meine Fehler aufzeigen könnte.
Zwischenwerte: [mm] k_1=0 [/mm] und [mm] j_1=1
[/mm]
sowie [mm] k_2=-0,1 [/mm] und [mm] j_2=1,05
[/mm]
sowie [mm] k_3=-0,105 [/mm] und [mm] j_3=1,047
[/mm]
sowie [mm] k_4=-0,208 [/mm] und [mm] j_4=1,093
[/mm]
Endergebnis:
[mm] x_1=1,9897 [/mm] und [mm] y_1=1,1048
[/mm]
Mein Versuch:
[mm] $\vektor{\dot x \\ \dot y}=\pmat{-1&1 \\ 1 & -\frac{y}{x}}\vektor{x*y \\ x}$
[/mm]
[mm] $\vektor{j_1 \\ \ k_1}=\pmat{-1&1 \\ 1 & -\frac{1}{2}}\vektor{2 \\ 2}=\vektor [/mm] {0 [mm] \\ [/mm] 1} $
, was ja leider nicht richtig ist.
Vielen Dank für eure Mühe im Voraus, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 23.07.2026 | | Autor: | meili |
Hallo Martinius,
> Farlow / p. 389 / Example 2
>
> [mm]\dot x= x- x*y[/mm] mit [mm]x_0=2[/mm]
>
> [mm]\dot y = -y+x*y[/mm] mit [mm]y_0=1[/mm]
>
> step-size: h=0,1
> Hallo meili, hallo liebe Leute,
>
> diese Aufgabe wird im Lehrbuch richtig & ausführlich
> vorgerechnet - aber nicht mit meilis
> Vektor/Matrix-Methode.
>
> Ich würde die Aufgabe aber gerne mit dieser Methode
> gelöst bekommen.
Mit der Multiplikation von einer Matrix mit einem Vektor wird eine lineare
Abbildung beschrieben. Deshalb halte ich es nicht für eine gute Idee, ein
System nichtlinearer Differentialgleichungen in Vektor-/Matrixschreibweise darzustellen.
Wenn man die Funktion f möglichst einfach aufschreiben will, um das Runge-Kutta-Verfahren
anzuwenden, kann man bei dieser Aufgabe auch eine Matrix-Vektor-Multiplikation verwenden,
wenn man in Kauf nimmt, dass x und y sowohl in der Matrix wie auch im Vektor vorkommen.
[mm] \vektor{\dot x \\ \dot y}=\pmat{1 & -x \\ y & -1} \vektor{ x \\ y}
[/mm]
Es gibt mehrere Möglichkeiten, aber einen Bruch aus Funktionen würde ich nicht verwenden.
>
> Ich würde mich darüber sehr freuen, wenn mir jemand meine
> Fehler aufzeigen könnte.
>
> Zwischenwerte: [mm]k_1=0[/mm] und [mm]j_1=1[/mm]
>
> sowie [mm]k_2=-0,1[/mm] und [mm]j_2=1,05[/mm]
>
> sowie [mm]k_3=-0,105[/mm] und [mm]j_3=1,047[/mm]
>
> sowie [mm]k_4=-0,208[/mm] und [mm]j_4=1,093[/mm]
>
> Endergebnis:
>
> [mm]x_1=1,9897[/mm] und [mm]y_1=1,1048[/mm]
>
>
> Mein Versuch:
>
> [mm]\vektor{\dot x \\ \dot y}=\pmat{-1&1 \\ 1 & -\frac{y}{x}}\vektor{x*y \\ x}[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{j_1 \\ \ k_1}=\pmat{-1&1 \\ 1 & -\frac{1}{2}}\vektor{2 \\ 2}=\vektor {0 \\ 1}[/mm]
>
> , was ja leider nicht richtig ist.
Was doch richtig ist, wenn [mm] j_1 \ \dot x [/mm] bzw. [mm] x [/mm] und [mm] k_1 \ \dot y [/mm] bzw. [mm] y [/mm] zugeordnet ist.
[mm]\vektor{j_2 \\ k_2}=\pmat{1& -(u_{0x} +\frac{h}{2}*j_1) \\ u_{0y} +\frac{h}{2}*k_1 & -1}\vektor{u_{0x} +\frac{h}{2}*j_1 \\ u_{0y} +\frac{h}{2}*k_1}=\pmat{1& -(2 +0,05*0) \\ 1 +0,05*1 & -1} \vektor {2 +0,05*0 \\ 1 +0,05*1} =\vektor{-0,1 \\ 1,05}[/mm]
>
>
> Vielen Dank für eure Mühe im Voraus, Martinius
>
Ich hoffe, die Formeln werden irgendwann auch angezeigt (und ich habe keine Tippfehler darin, die das verhindern)
>
>
Gruss
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Mo 27.07.2026 | | Autor: | Martinius |
Hallo meili,
ich möchte mich bei Dir sehr herzlich bedanken für Deine Antwort.
Ich konnte alle Zwischenwerte richtig berechnen - nur musste ich am Ende alle j und k gegeneinander vertauschen - warum auch immer.
Liebe Grüße, Martinius
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