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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 So 20.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung und geben sie den Definitionsbereich an: [mm] 2xy(x+1)y'=y^{2}+1
[/mm]
Hinweis: [mm] \bruch{1}{x(x+1)}=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+1} [/mm] ; [mm] x\not=0,-1 [/mm] |
Hallo Zusammen.
Ich habe versucht diese Gleichung zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob ich den Hinweis richtig eingesetzt habe und wär deshalb froh wenn Ihr meinen Ansatzt mal anschauen könntet.
[mm] 2xy(x+1)y'=y^{2}+1
[/mm]
[mm] y'=\bruch{y^{2}+1}{2xy(x+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y^{2}+1}{2xy(x+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{1}{2y}-\bruch{1}{(x^{2}-x)}
[/mm]
Stimmt das oder müsste es auf der linken Seite [mm] \bruch{dy}{y^{2}+1} [/mm] sein? Habe ich den Hinweis auf der rechten Seite richtig eingesetzt?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss Aucuba
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Hallo
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung und geben sie den Definitionsbereich
> an: [mm]2xy(x+1)y'=y^{2}+1[/mm]
> Hinweis: [mm]\bruch{1}{x(x+1)}=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+1}[/mm] ;
> [mm]x\not=0,-1[/mm]
> Hallo Zusammen.
> Ich habe versucht diese Gleichung zu lösen, bin mir aber
> nicht sicher, ob ich den Hinweis richtig eingesetzt habe
> und wär deshalb froh wenn Ihr meinen Ansatzt mal anschauen
> könntet.
>
> [mm]2xy(x+1)y'=y^{2}+1[/mm]
> [mm]y'=\bruch{y^{2}+1}{2xy(x+1)}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{y^{2}+1}{2xy(x+1)}[/mm]
Bis hierhin ist alles richtig.
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}}=\bruch{1}{2y}-\bruch{1}{(x^{2}-x)}[/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wie du darauf kommst.
Erweiter doch beide Terme mit [mm] \bruch{2y}{y^2+1} [/mm] und dann ergibt sich daraus folgends:
[mm] \bruch{2y}{y^2+1}*dy=\bruch{1}{x(x+1)}*dx
[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten ein Integralzeichen davor schreiben und nun kannst du den Hinweis verwenden.
> Stimmt das oder müsste es auf der linken Seite
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}+1}[/mm] sein? Habe ich den Hinweis auf der
> rechten Seite richtig eingesetzt?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Gruss Aucuba
>
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 20.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
> ergibt sich daraus folgends:
> [mm]\bruch{2y}{y^2+1}*dy=\bruch{1}{x(x+1)}*dx[/mm]
>
> Jetzt auf beiden Seiten ein Integralzeichen davor schreiben
> und nun kannst du den Hinweis verwenden.
Danke viel Mal. Wäre ja gar nicht sooo schwierig gewesen.. =)
Hab jetzt noch versucht die Rechnung fertig zu rechnen und wäre froh, wenn jemand das kontrollieren könnte. Hab leider ein unglaubliches Flair für Flüchtigkeitsfehler =(
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2y}{y^{2}+1} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+y} dx}
[/mm]
[mm] ln(y^{2}+1)=ln(|x|)+ln(|x+1|)+ln(c) ;c\ge0, x\ge0
[/mm]
[mm] ln(y^{2}+1)-ln(c)=ln(|x|)+ln(|x+1|)
[/mm]
[mm] ln(\bruch{y^{2}+1}{c})=ln(|x|)+ln(|x+1|)
[/mm]
[mm] e^{ln(\bruch{y^{2}+1}{c})}=e^{ln(|x|)+ln(|x+1|)}
[/mm]
[mm] \bruch{y^{2}+1}{c}=x(x+1)
[/mm]
[mm] y^{2}+1=cx(x+1)
[/mm]
[mm] y^{2}=cx(x+1)-1
[/mm]
[mm] y=\wurzel{cx(x+1)-1}
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss
Aucuba
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> > ergibt sich daraus folgends:
> > [mm]\bruch{2y}{y^2+1}*dy=\bruch{1}{x(x+1)}*dx[/mm]
> >
> > Jetzt auf beiden Seiten ein Integralzeichen davor schreiben
> > und nun kannst du den Hinweis verwenden.
>
> Danke viel Mal. Wäre ja gar nicht sooo schwierig gewesen..
> =)
> Hab jetzt noch versucht die Rechnung fertig zu rechnen und
> wäre froh, wenn jemand das kontrollieren könnte. Hab
> leider ein unglaubliches Flair für Flüchtigkeitsfehler
> =(
hallo,
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2y}{y^{2}+1} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+y} dx}[/mm]
>
> [mm]ln(y^{2}+1)=ln(|x|)+ln(|x+1|)+ln(c) ;c\ge0, x\ge0[/mm]
hier fehlt schon das minuszeichen vor dem ln|x+1|, damit musst du einiges nachrechnen. c muss > 0 sein, nicht [mm] \ge. [/mm] und für das x gilt nur die bedingung [mm] \not= [/mm] 0, da ja ein betrag drin steht
>
> [mm]ln(y^{2}+1)-ln(c)=ln(|x|)+ln(|x+1|)[/mm]
> [mm]ln(\bruch{y^{2}+1}{c})=ln(|x|)+ln(|x+1|)[/mm]
> [mm]e^{ln(\bruch{y^{2}+1}{c})}=e^{ln(|x|)+ln(|x+1|)}[/mm]
> [mm]\bruch{y^{2}+1}{c}=x(x+1)[/mm]
> [mm]y^{2}+1=cx(x+1)[/mm]
> [mm]y^{2}=cx(x+1)-1[/mm]
> [mm]y=\wurzel{cx(x+1)-1}[/mm]
beim wurzelziehen fehlt das [mm] \pm
[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Gruss
> Aucuba
>
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Danke Euch Allen für die Hilfe! =)
Gruss Aucuba
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