DGL mit Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Pace |
Könnte mir bitte jemand vorrechnen wie ich diese Aufgabe löse. Ich komme mit der substitution bei DGL'n irgendwie nicht zurecht.
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Hallo Pace,
substituiere hier $z:=x+y+1$
[mm] $\Rightarrow z'=1+y'=1+z^2$, [/mm] denn die Ausgangs-DGL ist ja [mm] $y'=(x+y+1)^2=z^2$
[/mm]
Dann hast du eine DGL, die du mit Trennung der Variablen lösen kannst
[mm] $z'=1+z^2\Rightarrow \frac{1}{1+z^2} \frac{dz}{dx}=1\Rightarrow \frac{1}{1+z^2}dz=dx$
[/mm]
Integrieren liefert dann
[mm] $\int{\frac{1}{1+z^2} \ dz}=\int{1 \ dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \arctan(z)=x+c$ [/mm] mit [mm] $c\in\IR$
[/mm]
Also $z=....$
und dann resubstituieren...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Pace |
Diesen Schritt kann ich gerade nicht nachvollziehen. Könntest du mir kurz erklären wie sich das daraus ergibt?
> Dann hast du eine DGL, die du mit Trennung der Variablen
> lösen kannst
>
> [mm]z'=1+z^2\Rightarrow \frac{1}{1+z^2} \frac{dz}{dx}=1\Rightarrow \frac{1}{1+z^2}dz=dx[/mm]
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Hi nochmal,
was genau ist unklar?
es ist $z=z(x)$
Also [mm] $z'=z'(x)=\frac{dz}{dx}$
[/mm]
Die DGL ist [mm] $z'=1+z^2$
[/mm]
Teile auf beiden Seiten durch [mm] $1+z^2$ [/mm] und schreibe z' als [mm] $\frac{dz}{dx}$
[/mm]
Das gibt
[mm] $\frac{1}{1+z^2}\frac{dz}{dx}=1$
[/mm]
Nun mal $dx$ auf beiden Seiten
[mm] $\frac{1}{1+z^2} [/mm] \ dz \ = \ 1 \ dx$
Nun integrieren...
Gruß
schachuzipus
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