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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit getrennten Variablen
DGL mit getrennten Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL mit getrennten Variablen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:41 Mi 08.03.2006
Autor: Professor

Hallo zusammen,

nun hänge ich schon seit geraumer Zeit über folgender Übungsaufgabe. Jedoch bin ich bisher noch nicht weit gekommen. Ich hoffe es kann mir von euch jemand ein wenig weiter helfen.

y' (1 + [mm] x^{2}) [/mm] x + 2y = 0

y' = [mm] \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} [/mm] * (-2y)

[mm] \bruch{dy}{-2y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{(1 + x^{2}) x} [/mm]

[mm] \integral{ \bruch{1}{-2y} dy} [/mm] = [mm] \integral{ \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} dx} [/mm]

- 0,5 ln y = ???

Irgendwie hänge ich da ziehmlich fest. Ich hab es nun schon mehrmals versucht, aber ich bleibe immer wieder hängen.

Als Lösung soll

y = c(1 + [mm] \bruch{1}{x^{2}}) [/mm]

heraus kommen.

Wie komme ich auf y?

Danke für eure Hilfe.

Gruß

Prof.


        
Bezug
DGL mit getrennten Variablen: falsch umgeformt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Mi 08.03.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Professor!


Ich habe es nicht bis zum Ende durchgerechnet ... aber im ersten Umformungsschritt machst Du bereits einen Fehler:

[mm] $y'*\left(1 + x^2\right)*x [/mm] + 2y \ = \ 0$     [mm] $\left| \ \red{-}2y$ $y'*\left(1 + x^2\right)*x \ = \ -2y$ $\left| \ : \ \left(1 + x^2\right)*x$ $y' \ = \ \bruch{-2y}{\left(1 + x^2\right)*x}$ $\left| \ : \ y$ $\bruch{y'}{y} \ = \ \bruch{-2}{\left(1 + x^2\right)*x}$ Kommst Du nun alleine weiter? Gruß Loddar [/mm]

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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: weiter gerechnet ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Mi 08.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Professor!


Also ... mit meinen obigen Umformungen sowie anschließender Partialbruchzerlegung des Bruches auf der rechten Seite erhalte ich wirklich auch das genannte Ergebnis.


Gruß
Loddar


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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Mi 08.03.2006
Autor: Professor

Guten Morgen,

zuerst mal danke für die rasche Hilfe, jedoch erkenne ich leider keinen Fehler bei meiner Umformung. Irgendwie stehe ich bei dieser Aufgabe ghörig auf dem Schlauch. :-(

Ich hab doch auch

y'  =  [mm] \bruch{-2y}{\left(1 + x^2\right)\cdot{}x} [/mm]

nur, dass ich es in eine Multiplikation umgewandelt habe damit ich die Trennung der Veränderlichen durchführen kann.

y' ist doch bei uns beiden gleich.

Bei der Integration von y' hängt es dann ein wenig.

Gruß

Prof.

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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: nächste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Mi 08.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Professor!


> jedoch erkenne ich leider keinen Fehler bei meiner Umformung.

Du hast Recht, da habe ich mich etwas in die Irre leiten lassen ...


> nur, dass ich es in eine Multiplikation umgewandelt habe
> damit ich die Trennung der Veränderlichen durchführen
> kann.

[daumenhoch]
Nun teile die Gleichung durch $y_$ , und Du erhältst links den Ausdruck

[mm] $\bruch{\blue{y'}}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{dy}{dx}}}{y}$ [/mm]


Nun die Gleichung mit $dx_$ multiplizieren und anschließend integrieren.

Und das Ergebnis zu [mm] $\integral{\bruch{1}{y} \ dy}$ [/mm] sollte ja bekannt sein, oder?


Gruß
Loddar


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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mi 08.03.2006
Autor: Professor

Hallo,

danke für deine Hilfe Loddar. Dieser Schritt erscheint mir klar.

Ähnliches habe ich ja auch gemacht. Ich habe nur anstatt durch y gleich durch -2y dividiert.

so erhalte ich anstatt ln y eben - 0,5 ln y.

Meine Schwierigkeiten liegen auf der anderen Seite der Gleichung.

[mm] \integral{ \bruch{1}{(1 + x^{2}) x} dx} [/mm]

Wie lässt sich dieses Integral lösen?

Gruß

Prof.


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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: Partialbruchzerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Mi 08.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Prof!


Wie oben bereits angedeutet, musst Du hier eine Partialbruchzerlegung vornehmen:

[mm] $\bruch{-2}{\left(1+x^2\right)*x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A*x+B}{1+x^2}+\bruch{C}{x}$ [/mm]

Nun zunächst die Koeffizienten $A_$, $B_$ und $C_$ bestimmen ...


Gruß
Loddar


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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mi 08.03.2006
Autor: Professor

Hallo,

alles was ich über Partialbruchzerlegungen weiß, ist dass ich die Nullstellen des Nenner ermitteln muß.

das wäre in meinem Fall

x = 0
x = - i
x = + i

Was es mit diesem A, B, C auf sich hat ... sorry.

Kann ich diesen Bruch nicht in zwei Brüche aufteilen?

1/x

und

1/(1+x²)

was beides für sich sehr leicht zu integrieren wäre.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie das mit dem A, B und C funktionieren soll.

Danke schon mal.

Gruß

Prof.


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Bezug
DGL mit getrennten Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mi 08.03.2006
Autor: cycilia

Ja du kannst es in die von dir beschriebenen beiden Teile zerlegen. A/x und
Bx+C/(1+x²). Allerdings musst du bei der Partialbruchzerlegung dann beachten, dass eben über dem quadratischen Term zwei Unbekannte stehen.  Schau dir ev. mal die Erklärung zu Partialbruchzerlegung und Koeffizientenvergleich []http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung an.

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