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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Ellie123 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems
y'= [mm] 2xcos^2(y) [/mm] y(0)=0 |
Hallo,
meine Frage zu dieser Aufgabenstellung ist die folgende:
Und zwar habe ich eine Lösung zu dieser Aufgabe vorliegen. Diese beginnt
mit den Worten:" Ist y eine Lösung des Anfangswertproblems, so ist y(x) [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] für alle x in einer Umgebung U von 0."
Mir ist leider nicht klar, woran man erkennen kann, dass eine Lösung dieses Anfangswertproblems in dem besagten Intervall liegen muss. Kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen? Vielen Dank schon mal.
Viele Grüße,
Ellie123
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> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems
>
> y'= [mm]2xcos^2(y)[/mm] y(0)=0
> Hallo,
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> meine Frage zu dieser Aufgabenstellung ist die folgende:
> Und zwar habe ich eine Lösung zu dieser Aufgabe
> vorliegen. Diese beginnt
> mit den Worten:" Ist y eine Lösung des
> Anfangswertproblems, so ist y(x) [mm]\in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[[/mm]
> für alle x in einer Umgebung U von 0."
>
> Mir ist leider nicht klar, woran man erkennen kann, dass
> eine Lösung dieses Anfangswertproblems in dem besagten
> Intervall liegen muss. Kann mir da jemand vielleicht
> weiterhelfen? Vielen Dank schon mal.
>
> Viele Grüße,
> Ellie123
Hallo Ellie123,
falls es eine Lösungsfunktion $\ y:\ [mm] x\,\mapsto\, [/mm] y(x)$ zu diesem
Anfangswertproblem gibt, müsste offenbar y in einer
Umgebung der Stelle x=0 differenzierbar und damit auch
stetig sein. Ferner ist ja y(0)=0 vorgegeben.
Ich denke, dass dies allein schon genügt, um die
behauptete Aussage zu begründen.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems
>
> y'= [mm]2xcos^2(y)[/mm] y(0)=0
> Hallo,
>
> meine Frage zu dieser Aufgabenstellung ist die folgende:
> Und zwar habe ich eine Lösung zu dieser Aufgabe
> vorliegen. Diese beginnt
> mit den Worten:" Ist y eine Lösung des
> Anfangswertproblems, so ist y(x) [mm]\in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[[/mm]
> für alle x in einer Umgebung U von 0."
>
> Mir ist leider nicht klar, woran man erkennen kann, dass
> eine Lösung dieses Anfangswertproblems in dem besagten
> Intervall liegen muss. Kann mir da jemand vielleicht
> weiterhelfen? Vielen Dank schon mal.
Ergänzend zu Al:
Die Aufgabe riecht geradezu nach "Trennung der Variablen". Was macht man da ? Das:
Man schreibt die DGL um in
[mm] $\bruch{dy}{2cos^2(y)}=dx$
[/mm]
Edit: Al hat mich darauf hingewiesen, dass mir ein x durch die Lappen ging. Es lautet also:
[mm] $\bruch{dy}{cos^2(y)}=2xdx$
[/mm]
Es wird also durch [mm] cos^2(y) [/mm] geteilt. Dafür sollte sichergestellt sein, dass jede Lösung y der DGL auf einem Intervall [mm] I_y [/mm] definiert ist, welches die folgenden Eigeschaften haben soll:
1. 0 [mm] \in I_y [/mm] (wegen der Anfangsbedingung) und 2. cos(y(x))= [mm] \ne [/mm] 0 für jedes x [mm] \in I_y.
[/mm]
Achtung: [mm] I_y [/mm] muss nicht das maximale Existenzintervall der Lösung y sein (dazu später mehr).
Solange man die Ex. eines solchen Intervalls [mm] I_y [/mm] nicht garantieren kann, ist die Methode "Trennung der Variablen" nicht anwendbar.
Kann man das garantieren ? Ja, man kann. Beachte hierbei:
cos(y) [mm] \ne [/mm] 0 für alle y [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] .
Sei also $y:I [mm] \to \IR$ [/mm] eine Lösung des Anfangswertproblems (I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit 0 [mm] \in [/mm] I, 0 innerer Punkt von I).
Da y auf I differenzierbar ist, ist y auf I stetig. Die Stetigkeit von y in x=0 zieht nach sich ( mit [mm] \varepsilon=\bruch{\pi}{2}):
[/mm]
es ex. ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
$|y(x)|=|y(x)-y(0)| < [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] ] - [mm] \delta, \delta[$.
[/mm]
Setze nun [mm] $I_y= [/mm] I [mm] \cap [/mm] ] - [mm] \delta, \delta[$.
[/mm]
[mm] I_y [/mm] leistet das Verlangte: [mm] I_y [/mm] ist eine Umgebung von 0 mit
$y(x) [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] $ für alle x [mm] \in I_y.
[/mm]
Noch ein Wort zum max. Existenzintervall:
Rechne nach, dass die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems gegeben ist durch
y(x)=arctan(2x).
Edit: die Lösung lautet:
[mm] y(x)=arctan(x^2).
[/mm]
Du siehst also: diese Lösung ex. auf ganz [mm] \IR [/mm] und es ist
$y(x) [mm] \in ]-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] $ für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> Viele Grüße,
> Ellie123
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> > Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> > Anfangswertproblems
> >
> > y'= [mm]2xcos^2(y)[/mm] y(0)=0
> Ergänzend zu Al:
>
> Die Aufgabe riecht geradezu nach "Trennung der Variablen".
> Was macht man da ? Das:
>
> Man schreibt die DGL um in
>
> [mm]\bruch{dy}{2cos^2(y)}=dx[/mm]
Hallo Fred,
da ist dir wohl der Faktor x durch die Latten des Gartenzauns
gegangen, mit dem du gerade jemand anderem gewunken (***)
hast ...
Richtig wäre:
$\ [mm] \frac{dy}{cos^2(y)}\ [/mm] =\ [mm] 2\,x\,dx$
[/mm]
(***)"gewunken":
nach Zwiebelfisch:
Das Verb "winken" wird regelmäßig konjugiert: ich winke, ich winkte, ich habe gewinkt. Die Form "gewunken" ist landschaftlich verbreitet, aber streng genommen ein Irrtum. Zwar heißt es "sinken, sank, gesunken" und "trinken, trank, getrunken", doch nicht "winken, wank, gewunken". Die Formen von "winken" werden wie die Formen von blinken, hinken und schminken regelmäßig gebildet.
Nun dachte ich aber doch, unser großer FRED hätte sich
derart schäbige Grammatikfehler schon längst ab- (oder
gar nie an-) geschmunken ... 
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Do 05.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> > > Anfangswertproblems
> > >
> > > y'= [mm]2xcos^2(y)[/mm] y(0)=0
>
>
> > Ergänzend zu Al:
> >
> > Die Aufgabe riecht geradezu nach "Trennung der Variablen".
> > Was macht man da ? Das:
> >
> > Man schreibt die DGL um in
> >
> > [mm]\bruch{dy}{2cos^2(y)}=dx[/mm]
>
>
> Hallo Fred,
>
> da ist dir wohl der Faktor x durch die Latten des
> Gartenzauns
> gegangen, mit dem du gerade
> jemand anderem
> gewunken (***)
> hast ...
>
> Richtig wäre:
>
> [mm]\ \frac{dy}{cos^2(y)}\ =\ 2\,x\,dx[/mm]
Hallo Al,
danke, ich habs oben verbessert.
>
>
>
>
> (***)"gewunken":
>
> nach Zwiebelfisch:
>
> Das Verb "winken" wird regelmäßig konjugiert: ich winke,
> ich winkte, ich habe gewinkt. Die Form "gewunken" ist
> landschaftlich verbreitet, aber streng genommen ein Irrtum.
> Zwar heißt es "sinken, sank, gesunken" und "trinken,
> trank, getrunken", doch nicht "winken, wank, gewunken". Die
> Formen von "winken" werden wie die Formen von blinken,
> hinken und schminken regelmäßig gebildet.
>
> Nun dachte ich aber doch, unser großer FRED hätte sich
> derart schäbige Grammatikfehler schon längst ab- (oder
> gar nie an-) geschmunken ...
Der Fred ist vor Scham der kleine fred und entschuldigt sich. Er ist eben kein Grammatiker sondern ein Mathem(m)atiker
fred
>
> LG , Al
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> Der Fred ist vor Scham ....
Scham ?
Naja, es wünscht sich ja niemand, dass du
zum Gram-atiker mutieren sollest ...
 Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:33 Fr 06.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Der Fred ist vor Scham ....
>
> Scham ?
>
> Naja, es wünscht sich ja niemand, dass du
> zum Gram-atiker mutieren sollest ...
>
> Al
Hallo Al,
da hab ich was für Dich:
http://hypermedia.ids-mannheim.de/call/public/fragen.ansicht?v_id=76
Gruß
FRED
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> > > Der Fred ist vor Scham ....
> >
> > Scham ?
> >
> > Naja, es wünscht sich ja niemand, dass du
> > zum Gram-atiker mutieren sollest ...
> >
> > Al
>
>
> Hallo Al,
>
> da hab ich was für Dich:
>
> http://hypermedia.ids-mannheim.de/call/public/fragen.ansicht?v_id=76
>
> Gruß
>
> FRED
Hallo FRED,
das Ganze scheint dich doch mehr zu bewegen, als ich
vermutet hätte. Mit häufigeren Treffern in Google die
Korrektheit sprachlicher Formen zu belegen, scheint
mir aber doch ein etwas fragwürdiges Verfahren.
Analog könnte man ja auch über die Wahrheit mathe-
matischer Aussagen ein "Voting" veranstalten.
Es gäbe da bestimmt eine politisch korrektere
Vorgehensweise: Im Sinne einer besseren Verständi-
gung zwischen Sprechern aus verschiedenen Regionen
und Generationen wäre es doch bestimmt angezeigt,
analog zu den heutigen geschlechtsneutralen
Formulierungen in der Gender-Problematik neutrale
sprachliche Formen zu lancieren. Ein Beispiel dazu steht
ja schon im Artikel, dessen Link du angegeben hast:
Am Eingang der Disko hat uns der Türsteher einfach
durchgewinkt/durchgewunken und danach haben wir
getanzt, bis wir abgewinkt/abgewunken haben. Zum
Abschied haben wir uns dann zugewinkt/zugewunken.
Ob das aber wirklich eine wünschenswerte Weiter-
entwicklung der deutschen Sprache wäre ?
Ich wanke noch ...
Al
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