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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit konstanten Lösungen
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DGL mit konstanten Lösungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:51 Fr 19.08.2011
Autor: Harris

Hi!

Ich habe eine Frage.

Angenommen, ich habe eine DGL $y'=f(y)$ und $f(y)$ sei Lipschitzstetig in $y$ und habe Nullstellen genau in $y=0$ und $y=1$.
Für $y>1$ sei $f(y)<0$ und Für $y<0$ sei $f(y)>0$.

Habe ich nun ein AWP mit $0<y(0)<1$. Daraus folgt ja, dass stets $0<y(t)<1$ gilt. Bei einem AWP mit $y(0)<0$ gilt ja stets $y'(t)>0$ und $y(t)<0$, also ist die Lösung $y(t)$ nach oben beschränkt. Startet die Lösung oberhalb von $1$, so fällt sie streng monoton und ist durch $1$ nach unten beschränkt.

Nun die Frage: Kann ich hieraus bereits folgern, dass die Lösung jedes AWPs für alle $t>0$ existiert? Wenn ja, aus welchem Satz folgt das?

Und kann ich folgern, dass für ein AWP mit $y(0)<0$ gilt, dass [mm] $lim_{t\rightarrow\infty}y(t)=0$. [/mm] Wenn ja, warum?

Grüße!
Harris

        
Bezug
DGL mit konstanten Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Sa 20.08.2011
Autor: leduart

Hallo
Mit deinen Nullstellen kann f(y)<0 für y>0 nicht gelten!
warum die Nullstelle bei 1?
Gruß leduart


Bezug
                
Bezug
DGL mit konstanten Lösungen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:56 So 21.08.2011
Autor: Harris

Irgendwie ist die Aufgabe Schrott, gell?

Anscheinend wurde hier versucht, alle drei Fälle in eine Aufgabe zu packen.
Ich denke, sie soll fragen, ob eine Lösung, die zwischen zwei konstanten Lösungen startet, auch für alle [mm] $t\in\IR$ [/mm] definiert ist.

Und eine Lösung, die nach unten (oben) beschränkt ist und streng monoton fällt (steigt) auch für alle [mm] $t\in\IR$ [/mm] definiert ist.

Anschaulich ist das ja irgendwie klar. Gilt das nach den Sätzen für Ober- und Unterfunktionen?

Bezug
                        
Bezug
DGL mit konstanten Lösungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 23.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
DGL mit konstanten Lösungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 So 21.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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