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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tubbie |
| Aufgabe | Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y'' - y' - 2y = [mm] 3e^{2x},
[/mm]
y(0)= 0, y'(0)= -2. |
hallo erstmal!
habe folgendes problem bei dieser aufgabe!
komme über
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] -2 =0
zu den lösungen für [mm] \lambda_{1}= [/mm] 2 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1
zur lösung:
[mm] y_{H} [/mm] = [mm] c_{1}*e^{2x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{-x}
[/mm]
aber wie sieht die partikuläre lösung für das [mm] 3e^{2x}aus?
[/mm]
[mm] y^{\*}= [/mm] ?
mit A !!!
das weitere rechnen ist kein problem denke ich, nur weiss ich nicht, wie man auf den ansatz kommt. und vor allem nach welchen regeln....
z.B ist der ansatz der rechten seite für [mm] e^{-x}:
[/mm]
[mm] y^{\*}= A*e^{-x}*x
[/mm]
für [mm] 3*e^{x}sinx [/mm] aber gleich:
[mm] y^{\*}= A*e^{x}*sinx
[/mm]
wie ist das für [mm] 3e^{2x}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tubbie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie Du bereits selber an Deine Beispielen festgestellt hast, richtet sich die partikuläre Lösung [mm] $y_P$ [/mm] bzw. die Art der partikulären Lösung stets nach der Art der Inhomogenität.
In Deinem Falle wird als allgemeine partikuläre Lösung [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] A*e^{2x}$ [/mm] angenommen.
Denn durch Einsetzen dieser Lösung bzw. der entsprechenden Ableitungen soll ja auch wieder exakt dieser Typ entstehen mit [mm] $3*e^{2x}$.
[/mm]
Und die Ableitungen von [mm] $A*e^{2x}$ [/mm] unterscheiden sich ja lediglich durch den konstanten Faktor (aufgrund innerer Ableitung gemäß  Kettenregel).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Tubbie |
Hört sich gut an. vielen dank für deine antwort.
> Denn durch Einsetzen dieser Lösung bzw. der entsprechenden
> Ableitungen soll ja auch wieder exakt dieser Typ entstehen
> mit [mm]3*e^{2x}[/mm].
aber wenn ich als partikuläre lösung von [mm] e^{-x} [/mm] bekomme:
[mm] y^{\*} [/mm] = [mm] A*e^{-x}* [/mm] x
was sucht dann das x da? weil egal wie oft ich [mm] e^{-x} [/mm] ableite, kommt doch nie ein x vor die rechnung...
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Hallo Tubbie!
Ups, das hatte ich übersehen.
Für eine Inhomogenität [mm] $e^{-x}$ [/mm] lautet der Ansatz der partikulären Lösung aber: [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] A*e^{-x}$
[/mm]
Und für Dein anderes Beispiel für [mm] $3*e^x*\sin(x)$ [/mm] :
[mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] A*e^x*\sin(x)+\blue{B*e^x*\cos(x)}$
[/mm]
Schließlich entstehen durch die ableitung von [mm] $\sin(x)$ [/mm] auch [mm] $\cos(x)$-Terme.
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> In Deinem Falle wird als allgemeine partikuläre Lösung [mm]y_P \ = \ A*e^{2x}[/mm]
> angenommen.
>
Hallo,
ist der Ansatz der partikul. Lösung nicht [mm] A*x*e^{2x}, [/mm] da 2 ja eine Lsg der charakt. Gleichung ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Mo 30.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo lerner
Du hast völlig recht, die Antwort von roadrunner hat übersehen, das [mm] Ae^{2x} [/mm] Lösung der homogenen Dgl. ist.
Gruss leduart.
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