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Forum "Integralrechnung" - DGL mit spezieller Lösung
DGL mit spezieller Lösung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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DGL mit spezieller Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 So 02.02.2014
Autor: bavarian16

Aufgabe
Finden Sie für folgende Diff erentialgleichung eine spezielle Lösung unter Berücksichtigung der Randbedingungen!

a) [mm]y*y´= -7x [/mm]  
mit y(0)=4

Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung was ich machen soll.

Hab im Internet irgendwas von folgendem Ansatz gelesen:
[mm] A*e^{Bx}[/mm]

Und auch noch irgendwas mit Lambda...

Könnte ihr mir vielleicht ein Tip geben?

        
Bezug
DGL mit spezieller Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 So 02.02.2014
Autor: DieAcht


> Finden Sie für folgende Diff erentialgleichung eine
> spezielle Lösung unter Berücksichtigung der
> Randbedingungen!
>  
> a) [mm]y*y´= -7x[/mm]  
> mit y(0)=4
>  Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung was ich machen soll.
>  
> Hab im Internet irgendwas von folgendem Ansatz gelesen:
>  [mm]A*e^{Bx}[/mm]
>  
> Und auch noch irgendwas mit Lambda...
>  
> Könnte ihr mir vielleicht ein Tip geben?  

Hallo,


Meinst du das dieses

      [mm] \begin{cases} y*y'=-7x \\ y(0)=4\end{cases} [/mm]

Anfangswertproblem?

Wieso probierst du es nicht mit der "Trennung der Variablen"?

      y*y'=-7x

      [mm] \Rightarrow \integral{y dy}=\integral{-7x dx} [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
DGL mit spezieller Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 So 02.02.2014
Autor: bavarian16

[mm] y*y'=-7x[/mm]
[mm] y*\bruch{dy}{dx}=-7x[/mm]
[mm] y dy=-7x dx[/mm]
[mm] \integral y\, dy=\integral -7x\, dx[/mm]
[mm] 1/2 y^2=-7/2 x^2[/mm]
[mm] y=\wurzel{-\bruch{14}{2}x^2}[/mm]

Jetzt hab ich doch die Wurzel von etwas Negativem oder hebt das [mm] x^2 [/mm] das auf?
Wie mach ich weiter?

Bezug
                        
Bezug
DGL mit spezieller Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 So 02.02.2014
Autor: MathePower

Hallo bavarian16,

> [mm]y*y'=-7x[/mm]
>  [mm]y*\bruch{dy}{dx}=-7x[/mm]
>  [mm]y dy=-7x dx[/mm]
>  [mm]\integral y\, dy=\integral -7x\, dx[/mm]
>  [mm]1/2 y^2=-7/2 x^2[/mm]
>  


Hier muss es doch lauten:

[mm]1/2 y^2=\red{C_{1}}-7/2 x^2[/mm]


> [mm]y=\wurzel{-\bruch{14}{2}x^2}[/mm]
>
> Jetzt hab ich doch die Wurzel von etwas Negativem oder hebt
> das [mm]x^2[/mm] das auf?


Nein.

Vielmehr fehlt hier noch die Integrationskonstante,
die Du mit Hilfe der Anfangsbedingung festlegst.

Demnach:

[mm]y=\wurzel{\red{C}-\bruch{14}{2}x^2}[/mm]


>  Wie mach ich weiter?


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
DGL mit spezieller Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 So 02.02.2014
Autor: DieAcht


> [mm]y*y'=-7x[/mm]
>  [mm]y*\bruch{dy}{dx}=-7x[/mm]
>  [mm]y dy=-7x dx[/mm]
>  [mm]\integral y\, dy=\integral -7x\, dx[/mm]
>  [mm]1/2 y^2=-7/2 x^2[/mm]
>  
> [mm]y=\wurzel{-\bruch{14}{2}x^2}[/mm]
>  
> Jetzt hab ich doch die Wurzel von etwas Negativem oder hebt
> das [mm]x^2[/mm] das auf?
>  Wie mach ich weiter?

Hallo,


Wenn du Probleme mit der Integrationskonstante hast,
dann kannst du diese auch direkt ins Integral einsetzen!

      [mm] \integral_{y_0}^{y}{\eta d\eta}=\integral_{x_0}^{x}{-7\xi d\xi} [/mm]

      [mm] \Rightarrow \integral_{4}^{y}{\eta d\eta}=\integral_{0}^{x}{-7\xi d\xi} [/mm]

      [mm] \Rightarrow \frac{1}{2}(y^2-4^2)=-\frac{7}{2}(x^2-0) [/mm]

      [mm] \Rightarrow y^2-16=-7x^2 [/mm]

      [mm] \Rightarrow y=\sqrt{-7x^2+16} [/mm]


Gruß
DieAcht

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Bezug
DGL mit spezieller Lösung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 So 02.02.2014
Autor: bavarian16

Danke habs verstanden!!


MERCI!!

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