DGL n-ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:43 Mi 04.11.2015 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Wenn u [mm] \in L^{p} [/mm] und [mm] u^{(n)} \in L^{r} [/mm] für p,r [mm] \geq [/mm] 1, n> 1.
Dann ist [mm] u^{(k)} \in L^{m} [/mm] für m [mm] \geq [/mm] max[p,r] und k= 0,1,2....,n-1 |
Ich habe folgende Grundlage:
![[]](/images/popup.gif) Link (S.170)
In dem Link ist auf S.168 auch der gleiche Satz für u, u' und u'' zu finden. Der Beweis hierzu sollte analog gehen. Mir fehlt nun gerade der erste Schritt.
Bei dem Beweis für u, u' und u'' betrachten wir die Differentialgleichung u''- u = f+g mit [mm] f\in L^{r} [/mm] und [mm] g\in L^{p}.
[/mm]
Lösen wir das, dann erhalten wir die Form für u:
u = [mm] c_1e^{t}+c_2e^{-t}+ \frac{1}{2} \int_{0}^{t}[e^{t-s}-e^{-(t-s)}] [/mm] [f(s)+ g(s)] ds (*)
Im Fall den ich hier nun betrachten möchte hab ich die beiden DGL:
(i) [mm] u^{(n)}-u [/mm] = f+g
(ii) [mm] u^{(n)}+u [/mm] = f+g
Hab nun versucht mit dem Lösungsverfahren für DGL n-ter Ordnung sowas wie in der Form von (*) zu bekommen, aber das funktioniert nicht so wie ich mir das vorstelle. Was müsste denn jeweils bei (i) und (ii) hinkommen, wenn man das u schreibt wie oben im Fall von u, u' und u''?
Beste Grüße,
Gnocchi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Fr 06.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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