DGL n. Ordnung mit Exponent < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheiten der folgenden Diffenentialgleichungen
a)
[mm]y'''=(y'')^3[/mm] |
Moin Moin,
bei dieser Aufgabenstellung habe ich probleme mit den mir bekannten verfahren einen Ansatz zu finden. Für DGL n. Ordnung haben wir bisher nur das Ansatzverfahren mit [mm]exp(\lambda*x) [/mm] und bilden des Char. Polynoms behandelt. Hierüber komme ich aber nicht weiter.
Was wäre hier eine geeignete herangehensweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
y''=z
y'''=z'
[mm] z'=z^3 [/mm] durch Trenung der Variablen!
dann z 2 mal integrieren um y zu erhalten.
Gruss leduart
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Die Idee klingt ganz gut,...
Durch zweifaches Integrieren komme ich auf
[mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3} dz}}= \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{1 dx}}
z= \bruch{1}{2x^2+2xC_1+C_2}[/mm]
Wenn ich das ganze rücksubstituiere habe ich demnach ja wieder y'' und nicht y.
Wenn ich davon ausgehe, dass z=y ist dann kommt das aber auch irgendwie nicht so recht hin,... (Im Vergleich zum Ergebnis von WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%3D%28y%27%27%29
Viele Grüße
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Hallo,
> Durch zweifaches Integrieren komme ich auf
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3} dz}}= \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{1 dx}}
z= \bruch{1}{2x^2+2xC_1+C_2}[/mm]
Um z auszurechnen, musst du lediglich die Gleichung
[mm] \int\frac{dz}{z^3}=\int1dx
[/mm]
nach z auflösen und den Sonderfall z=0 beachten.
Schreib das z erstmal hin und dann kannst du es zweimal integrieren.
LG
PS: Bei wolframalpha hast du die falsche DGL eingegeben, da kommt noch eine dritt Potenz vor.
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Irgendwie hab ich da beim Link einfügen ein Zeichen verschluckt,... http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%5Bx%5D%29%3Dy%27%27%5Bx%5D%5E3
so sollte es sein.
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3} dz}=\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
[mm]z^2=\bruch{1}{-2x+C_1}[/mm]
[mm]z=\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}}[/mm]
nun habe ich z wieder in die Ursprungsgleichung eingesetzt
[mm]y'''=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})^3[/mm]
und integriert
[mm]y'''*y=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})+C_2[/mm]
dann habe ich y''' wieder eingesetzt
[mm](\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})^3*y=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})+C_2[/mm]
und aufgelöst
[mm]y=-2x+C_1+C_2*\wurzel[]{-2x+C_1}^3[/mm]
war das so gemeit mit dem 2x integrieren?,..
Viele Grüße
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Hallo Speedmaster,
>
> Irgendwie hab ich da beim Link einfügen ein Zeichen
> verschluckt,...
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%5Bx%5D%29%3Dy%27%27%5Bx%5D%5E3
> so sollte es sein.
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^3} dz}=\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
>
> [mm]z^2=\bruch{1}{-2x+C_1}[/mm]
> [mm]z=\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}}[/mm]
> nun habe ich z wieder in die Ursprungsgleichung
> eingesetzt
>
> [mm]y'''=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})^3[/mm]
> und integriert
>
> [mm]y'''*y=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})+C_2[/mm]
> dann habe ich y''' wieder eingesetzt
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})^3*y=(\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}})+C_2[/mm]
> und aufgelöst
>
> [mm]y=-2x+C_1+C_2*\wurzel[]{-2x+C_1}^3[/mm]
>
> war das so gemeit mit dem 2x integrieren?,..
>
> Viele Grüße
>
Es ist doch zunächst:
[mm]y''=\pm\bruch{1}{\wurzel[]{-2x+C_1}}[/mm]
Dies wird jetzt 2mal integriert:
[mm]y'=\integral_{}^{} y'' \ dx+C_{2}[/mm]
[mm]y'=\integral_{}^{} y' \ dx+C_{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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Achsoo,.. dann hab ich wieder unnötig kompliziert gedacht,... Vielen Dank!
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