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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL u. Wronski-Det
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DGL u. Wronski-Det: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Fr 26.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben sei die DGL

y '' + [mm] \omega^2*y [/mm] = 0

1.   Zeigen Sie mithilfe der Wronski-Determinante , dass

[mm] y_1 [/mm] = [mm] C_1*sin(\omega*x) [/mm]  und [mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2*cos(\omega*x) [/mm]

linear unabhängige Basislösungen der DGL sind und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.

2. Zeigen Sie, dass auch y = [mm] e^{j*\omega*x} [/mm] die DGL erfüllt.


Moin Moin,

die Wronski-Determinante würde man m.E. hier errechnen können durch

[mm] \vmat{ y_1 & y_2 \\ y_1 ' & y_2 ' } [/mm]


[mm] \vmat{ C_1*sin(\omega*x) & C_2*cos(\omega*x) \\ C_1*\omega*cos(\omega*x) & -C_2*\omega*sin(\omega*x) } [/mm]

= [mm] C_1*sin(\omega*x)*(-C_2*\omega*sin(\omega*x)) [/mm] - [mm] C_2*cos(\omega*x)* C_1*\omega*cos(\omega*x) [/mm]  

= - [mm] C_1*C_2*\omega*[sin^2(\omega*x) [/mm] + [mm] cos^2(\omega*x) [/mm] ]

= - [mm] C_1*C_2*\omega*1 [/mm]

[mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] sind (vermutlich) in jedem Fall ungleich null.

[mm] \omega [/mm] steht hier für die Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] = [mm] 2*\pi*f [/mm] = [mm] \bruch{2*\pi}{T} [/mm]

Und wenn diese wirklich null wäre, gäbe es keine Schwingung.

Daher wird [mm] \omega [/mm] ebenfalls [mm] \not= [/mm] 0 vorausgesetzt.

Dann ist die Wronski-Determinante ungleich null => und die Funktionen sind linear unabhängig.

richtig?


Wie komme ich jetzt aber auf die allgemeine Lösung der DGL?

[mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] ???




zu 2)

y = [mm] e^{j*\omega*x} [/mm]

y ' = [mm] j*\omega*e^{j*\omega*x} [/mm]

y '' = [mm] j^2\omega^2*e^{j*\omega*x} [/mm]


mit [mm] j^2 [/mm] = -1


[mm] j^2\omega^2*e^{j*\omega*x} [/mm] + [mm] \omega^2*e^{j*\omega*x} [/mm] = 0  | : [mm] e^{j*\omega*x} [/mm]

[mm] -\omega^2 [/mm] + [mm] \omega^2 [/mm] = 0

0 = 0    


richtig?

        
Bezug
DGL u. Wronski-Det: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Fr 26.10.2018
Autor: fred97


> Gegeben sei die DGL
>
> y '' + [mm]\omega^2*y[/mm] = 0
>  
> Zeigen Sie mithilfe der Wronski-Determinante , dass
>
> [mm]y_1[/mm] = [mm]C_1*sin(\omega*x)[/mm]  und [mm]y_2[/mm] = [mm]C_2*cos(\omega*x)[/mm]

Hier sollte man  noch fordern, dass [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] beide nicht =0 sind.


>
> linear unabhängige Basislösungen der DGL sind und
> bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
>  Moin Moin,
>
> die Wronski-Determinante würde man m.E. hier errechnen
> können durch
>  
> [mm]\vmat{ y_1 & y_2 \\ y_1 ' & y_2 ' }[/mm]
>  
>
> [mm]\vmat{ C_1*sin(\omega*x) & C_2*cos(\omega*x) \\ C_1*\omega*cos(\omega*x) & -C_2*\omega*sin(\omega*x) }[/mm]
>  
> = [mm]C_1*sin(\omega*x)*(-C_2*\omega*sin(\omega*x))[/mm] -
> [mm]C_2*cos(\omega*x)* C_1*\omega*cos(\omega*x)[/mm]  
>
> = - [mm]C_1*C_2*\omega*[sin^2(\omega*x)[/mm] + [mm]cos^2(\omega*x)[/mm] ]
>  
> = - [mm]C_1*C_2*\omega*1[/mm]
>
> [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] sind (vermutlich) in jedem Fall ungleich null.
>
> [mm]\omega[/mm] steht hier für die Kreisfrequenz [mm]\omega[/mm] = [mm]2*\pi*f[/mm] =
> [mm]\bruch{2*\pi}{T}[/mm]
>  
> Und wenn diese wirklich null wäre, gäbe es keine
> Schwingung.
>
> Daher wird [mm]\omega[/mm] ebenfalls [mm]\not=[/mm] 0 vorausgesetzt.
>  
> Dann ist die Wronski-Determinante ungleich null => und die
> Funktionen sind linear unabhängig.
>
> richtig?
>  

ja


>
> Wie komme ich jetzt aber auf die allgemeine Lösung der
> DGL?
>  

Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler Vektorraum,  wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?


> [mm]y_1[/mm] + [mm]y_2[/mm] ???
>  
>
>
>
> zu 2)

2) hast du  nicht gepostet. ....


>
> y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  
> y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  
> y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  
>
> mit [mm]j^2[/mm] = -1
>
>
> [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0  |
> : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  
> [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
>
> 0 = 0    
>
>
> richtig?


Bezug
                
Bezug
DGL u. Wronski-Det: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh

Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
Vektorraum,  wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?

L  = [mm] \vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)} [/mm]

so?


> >
> > zu 2)
>
> 2) hast du  nicht gepostet. ....

Upps. Ich habe 2. in der Aufgabenstellung gerade ergänzt!


> > y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  
> > y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  
> > y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  
> >
> > mit [mm]j^2[/mm] = -1
> >
> >
> > [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0  |
> > : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  
> > [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
> >
> > 0 = 0    
> >
> >
> > richtig?
>  


Bezug
                        
Bezug
DGL u. Wronski-Det: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Sa 27.10.2018
Autor: fred97


> Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> Vektorraum,  wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
>
> L  = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]

Unsinn!  Jede Lösung der Dgl. ist  eine Linearkombination der Funktionen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm]


>
> so?
>  
>
> > >
> > > zu 2)
> >
> > 2) hast du  nicht gepostet. ....
>  
> Upps. Ich habe 2. in der Aufgabenstellung gerade ergänzt!
>  
>
> > > y = [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  >  
> > > y ' = [mm]j*\omega*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  >  
> > > y '' = [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > mit [mm]j^2[/mm] = -1
> > >
> > >
> > > [mm]j^2\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] + [mm]\omega^2*e^{j*\omega*x}[/mm] = 0  |
> > > : [mm]e^{j*\omega*x}[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]-\omega^2[/mm] + [mm]\omega^2[/mm] = 0
> > >
> > > 0 = 0    
> > >
> > >
> > > richtig?

ja


> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
DGL u. Wronski-Det: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh


> > Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> > Vektorraum,  wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
> >
> > L  = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]
>
> Unsinn!  Jede Lösung der Dgl. ist  eine Linearkombination
> der Funktionen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]

also so ?

[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] r*C_1*sin(\omega*x) [/mm] + [mm] s*C_2*cos(\omega*x) [/mm]

mit r,s [mm] \in \IR. [/mm]





Bezug
                                        
Bezug
DGL u. Wronski-Det: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Mo 29.10.2018
Autor: fred97


> > > Die Lösungsmenge der Dgl ist ein zweidimensionaler
> > > Vektorraum,  wie lautet dann wohl die allgemeine Lösung?
> > >
> > > L  = [mm]\vektor{C_1*sin(\omega*x) \\ C_2*cos(\omega*x)}[/mm]
> >
> > Unsinn!  Jede Lösung der Dgl. ist  eine Linearkombination
> > der Funktionen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]
>  
> also so ?
>  
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]r*C_1*sin(\omega*x)[/mm] + [mm]s*C_2*cos(\omega*x)[/mm]
>
> mit r,s [mm]\in \IR.[/mm]
>

Na ja....

Ich hab nicht verstanden , warum der Aufgabensteller die Funktionen

$ [mm] y_1 =C_1\cdot{}sin(\omega\cdot{}x) [/mm] $  und $ [mm] y_2 [/mm] = [mm] C_2\cdot{}cos(\omega\cdot{}x) [/mm] $

mit den Konstanten [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] def. hat.

Machen wir es so: seien $ [mm] y_1 (x)=\sin(\omega\cdot{}x) [/mm] $  und $ [mm] y_2 [/mm] = [mm] \cos(\omega\cdot{}x) [/mm] $.

Die Wronskideterminante dieser beiden Funktionen ist $ [mm] \ne [/mm] 0$. Damit sind sie linear unabhängig.

Sei L die Menge aller Lösungen der DGL $y '' + [mm] \omega^2\cdot{}y [/mm] =0$.

Wir haben:

1. [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] L$ und 2. L ist ein reeller Vektoraum mit $ [mm] \dim [/mm] L =2$.

Damit ist [mm] $\{y_1,y_2 \}$ [/mm] eine Basis von L.

Fazit: jede Lösung y [mm] \in [/mm] L hat die Form

[mm] $y=ry_1+sy_2$ [/mm] mit $r,s [mm] \in \IR$. [/mm]

>
>
>  


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