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| Aufgabe | Transformieren Sie gekoppelte DGL 2. Ordnung in ein DGL-System 1. Ordnung der Form $x'=Ax$ mit [mm] x= [x_{1} x_{1}' x_{2} x_{2}']^{T}.
[/mm]
Finden Sie die allg. Lösung des DGL-Systems. |
Hallo Forum,
Ich habe die Aufgabe die Schwingungen eines Feder-Masse-Systems zu beschreiben. Aufstellen der DGL ist kein Problem. Leider finde ich nicht den richtigen Weg die DGL zu lösen.
Die DGL lautet:
[mm]
\begin{pmatrix}
x_{1}'' \\
x_{2}''
\end{pmatrix}
= \frac{1}{m}
\begin{pmatrix}
-k_{2}-k_{1} & k_{2} \\
k_{2} & -k_{2}-k_{1}
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun soll ich diese DGL in die Form $x'=Ax$ mit [mm] x= [x_{1} x_{1}' x_{2} x_{2}']^{T} [/mm] bringen.
Gesagt getan.
[mm]
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{1}' \\
x_{2} \\
x_{2}'
\end{pmatrix}
' =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{-k_{2}-k_{1}}{m} & 0 & \frac{k_{2}}{m} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{k_{2}}{m} & 0 & \frac{-k_{2}-k_{1}}{m} & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{1}' \\
x_{2} \\
x_{2}'
\end{pmatrix}
[/mm]
Aber wie weiter?
Kennt sich da jemand besser aus als ich? Schonmal vielen Dank für die Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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So ich habe jetzt nochmal ein paar Skipte gewälzt. Ich muss also das die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen.
Die Eigenwerte von A sind
[mm]
\left\lbrace -\frac{i\sqrt{k_{1}}}{\sqrt{m}}, \frac{i\sqrt{k_{1}}}{\sqrt{m}}, -\frac{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}}{\sqrt{m}}, \frac{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}}{\sqrt{m}} \right\rbrace
[/mm]
mit folgenden Eigenvektoren
[mm]
\left\lbrace
\begin{pmatrix}
\frac{i\sqrt{m}}{\sqrt{k_{1}}} \\
1 \\
\frac{i\sqrt{m}}{\sqrt{k_{1}}} \\
1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
-\frac{i\sqrt{m}}{\sqrt{k_{1}}} \\
1 \\
-\frac{i\sqrt{m}}{\sqrt{k_{1}}} \\
1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}} \\
-1 \\
-\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}} \\
1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
-\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}} \\
-1 \\
\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{-k_{1}-2k_{2}}} \\
1
\end{pmatrix}
\right\rbrace
[/mm]
Ok, aber wie ist der Lösungsansatz. Alle Beispiel welche ich gesehen habe waren mir nicht so ergründlich. Ich möchte am Ende eigentlich irgendwas mit Sinus und Cosinus raus haben. Oder bin ich da auf dem falschen Weg?
Vielen Dank,
Johannes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Nach langen googlen habe ich auch endlich mein Beispiel im Internet gefunden. Ich konnte das auch weitesgehend nachvollziehen.
http://scienceworld.wolfram.com/physics/SpringsThreeSpringsandTwoMasses.html
Aber an eine kleinen Stelle harpert es noch.
Als Lösungsansatz wird [mm]x_{n}=A_{n}e^{iwt}[/mm] gewählt.
Aber was ist [mm]A_{n}[/mm]?
Ich sollte doch am Ende die Eigenwerte und Eigenvektoren in diese Gleichung einsetzen können. Eigenwert ist klar, der Eigenvektor muss als irgendwie in das A reinrutschen, aber wie?
Vielen Dank,
Johannes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 06.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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