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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 So 18.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | [mm] -d^2\psi/dx^2 +x^2\psi [/mm] = [mm] E*\psi [/mm]
-infinity<x<infinity
2) [mm] lim\psi(x) [/mm] = 0 x->infinity
a) Verwenden Sie die Diskretisierung der 2.Ableitung wie vorgegeben
[mm] \psi(i+1)+\psi(i-1)-2*\psi/(delta x)^2 [/mm]
delta= L/n
Berechnen Sie naeherungsweise die Energien E und die zugehoerige Wellenfunktion [mm] \psi(x) [/mm] |
guten Tag.
Mein Ansatz
Berechnung naeherungsweise der Energien
[mm] \psi(i+1)-\psi(i-1)-2*\psi(i)/(delta x)^2 [/mm] = [mm] E*\psi
[/mm]
E = [mm] \psi(i+1)-\psi(i-1)-2*\psi(i)/delta x)^2 *\psi
[/mm]
wie rechne ich [mm] \psi(x) [/mm] aus?
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Hi,
ein paar Ideen: Zunächst sind die Klammern bei der Diskretisierung der 2. Ableitung falsch gesetzt. Es muss lauten:
[mm] \frac{d^2 \psi}{ dx^2} \approx \frac{\psi_{i+1}+\psi_{i-1}-2 \psi_i}{(\Delta x)^2}[/mm]
Du bekommst dann ein homogenes lineares Gleichungssystem für die [mm] \psi [/mm], das mit den vorgegebenen Randbedingungen entweder direkt (Gauss) oder iterativ gelöst werden kann. Aber so genau geht das aus der Aufgabe nicht hervor (man müsste zum Beispiel die Domäne groß genug wählen, so dass man das Verschinden von [mm] \psi [/mm] mit homogenen Dirichlet Randbedingungen modellieren kann).
Grüße,
Johannes
> delta= L/n
>
> Berechnen Sie naeherungsweise die Energien E und die
> zugehoerige Wellenfunktion [mm]\psi(x)[/mm]
> guten Tag.
>
> Mein Ansatz
>
> Berechnung naeherungsweise der Energien
>
> [mm]\psi(i+1)-\psi(i-1)-2*\psi(i)/(delta x)^2[/mm] = [mm]E*\psi[/mm]
>
> E = [mm]\psi(i+1)-\psi(i-1)-2*\psi(i)/delta x)^2 *\psi[/mm]
>
> wie rechne ich [mm]\psi(x)[/mm] aus?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mo 19.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
guten tag,
meint man damit die DGL von
[mm] y^2(x)-2y'(x)+x^2*y(x) [/mm] =0 zu loesen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> wie oben
> guten tag,
> meint man damit die DGL von
>
> [mm]y^2(x)-2y'(x)+x^2*y(x)[/mm] =0 zu loesen?
Nein. Wie kommst Du denn auf sowas ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:59 Mo 19.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
wo ist der Fehler?
[mm] \psi(x)^'' [/mm] - 2* [mm] \psi(x)^' [/mm] + [mm] x^2*L/n*\psi(x)=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Mo 19.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich die Funktion der DGL mit loese bekomme ich
/ / (1/2) (1/2) [mm] \\ [/mm] /
| x [mm] \-2 [/mm] n + I L x/| |
psi(x) = _C1 exp|- --------------------------| KummerM|
| (1/2) | |
\ 2 n / [mm] \
[/mm]
(1/2) (1/2) (1/2) 2\ /
-3 L + I n 3 I L x | |
- --------------------, -, -----------| x + _C2 exp|-
(1/2) 2 (1/2) | |
4 L n / \
/ (1/2) (1/2) [mm] \\ [/mm] / (1/2) (1/2)
x [mm] \-2 [/mm] n + I L x/| | -3 L + I n 3
--------------------------| KummerU|- --------------------, -,
(1/2) | | (1/2) 2
2 n / \ 4 L
(1/2) 2\
I L x |
-----------| x
(1/2) |
n /
was ist da falsch?
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Hi,
ich habe leider nur ganz kurz Zeit, aber in der Aufgabe steht, dass man eine näherungsweise Lösung angeben soll, zudem ist die Diskretisierung der 2. Ableitung gegeben. Für mich suggeriert das, dass eine numerische Lösung gefragt ist. Mir ist die Aufgabenstellung allerdings nicht ganz klar, da E vorgegeben sein müsste, wenn man aus den Randbedingungen die Wellenfunktion berechnen soll. Oder man könnte E frei wählen und die Lösung in Abhängigkeit von E darstellen. Oder hat jemand anders eine bessere Idee?
Beste Grüße,
Johannes
EDIT:
Wenn ich Deine manipulierte Gleichung sehe, gibt es da wohl noch Missverständnisse. Die Idee eine näherungsweisen Lösung ist in diesem Fall, die Ableitung durch finite Differenzen auszudrücken (also die Ableitung durch die Steigung einer Sekante anzunähern). In dem vorliegenden Fall wird eine "zentrierte Differenz" benutzt. Um die Ableitung an einem Gitterpunkt i zu berechnen, werden die Werte an den Gitterpunkten i-1, i und i+1 benötigt. Du musst also den angenäherten Ausdruck (s. meine erste Antwort) für die 2. Ableitung einsetzen. Diese Methode der Diskretisierung müsste eigentlich in der Vorlesung behandelt worden sein. Man kann so aus einer DGL ein System algebraischer Gleichungen machen, das numerisch gelöst werden kann (z.B. durch das Gauss'sche Eliminationsverfahren, wobei selbiges nicht immer optimal optimal ist).
Zudem müsste in der Aufgabenstellung die Größe der Domäne sowie die Maschenweite angegeben sein. Bist Du Dir sicher, dass Du die Aufgabenstellung vollständig und korrekt wiedergegeben hast?
Grüße,
Johannes
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:28 Mo 19.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
Ja in der Aufgabe steht der Eigenwert E ist dabei die Energie des Elektrons
und ist und soll mit der Aufgabe zusammen mit der Wellenfunktion analytisch und numerisch bestimmt werden...
keonnte mir jemand helfen einen Ansatz zu geben damit ich die funktion
berechnen und in Matlab plotten kann?
gruss
lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 19.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
die Diskretisierung wurde nicht behandelt sonst wuerde ich nicht fragen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Di 20.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
Berechnung der Engergien
Mein Ansatz
[mm] (2+x^2)*y0 [/mm] -y1 = E0
-y0 + [mm] (2+x^2)*y1 [/mm] -y2 = E1
-y2 + [mm] (2+x^2)*y2 [/mm] -y3 = E3
-y3 + [mm] (2+x^2)*y4 [/mm] - y5 = E5
kann dies stimmen?
gruss
lisa
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Hallo lisa11,
> wie oben
> Berechnung der Engergien
>
> Mein Ansatz
> [mm](2+x^2)*y0[/mm] -y1 = E0
> -y0 + [mm](2+x^2)*y1[/mm] -y2 = E1
> -y2 + [mm](2+x^2)*y2[/mm] -y3 = E3
> -y3 + [mm](2+x^2)*y4[/mm] - y5 = E5
>
> kann dies stimmen?
Das stimmt leider nicht.
Aus der gegebenen DGL ergibt sich die Diskretisierungsgleichung:
[mm]y_{i+1}+\left(x_{i}^{2}-2\right)*y_{i}+y_{i-1}=\left(\Delta x\right)^{2}*E*y_{i}[/mm]
Konkret:
[mm]i=0: y_{1}+\left(x_{0}^{2}-2\right)*y_{0}=\left(\Delta x\right)^{2}*E*y_{0}[/mm]
[mm]i=1: y_{2}+\left(x_{1}^{2}-2\right)*y_{1}+y_{0}=\left(\Delta x\right)^{2}*E*y_{1}[/mm]
...
[mm]i=n-1: y_{n}+\left(x_{n-1}^{2}-2\right)*y_{n-1}+y_{n-2}=\left(\Delta x\right)^{2}*E*y_{n-1}[/mm]
[mm]i=n: \left(x_{n}^{2}-2\right)*y_{n}
+y_{n-1}=\left(\Delta x\right)^{2}*E*y_{n}[/mm]
> gruss
> lisa
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 22.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
so jetzt sehe ich das
ich komme auf eine Diskretisierungsmatrix
1-E -2 1 0 0 0 0 y0 = 0
0 2-E -2 1 0 0 0 y1 = 0
0 0 3-E -2 1 0 0 y2 = 0
wie rechne ich davon die Wellenfunktion aus?
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Hallo lisa11,
> so jetzt sehe ich das
>
> ich komme auf eine Diskretisierungsmatrix
> 1-E -2 1 0 0 0 0 y0 = 0
> 0 2-E -2 1 0 0 0 y1 = 0
> 0 0 3-E -2 1 0 0 y2 = 0
> wie rechne ich davon die Wellenfunktion aus?
>
Das ganze läuft doch auf ein Eigenwertproblem hinaus.
Die zugehörige Matrix sieht dann so aus:
[mm]\pmat{ x_{0}^{2}-2 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & x_{1}^{2}-2 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 & x_{n-1}^{2}-2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 &0 & 1 & x_{n}^{2}-2 & }[/mm]
Davon sind jetzt die Eigenwerte zu berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 22.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
gut das habe ich gemacht mit maple und bekomme fuer die Eigenwerte
Vector(5, {(1) = [mm] -1+x^2, [/mm] (2) = [mm] -3+x^2, [/mm] (3) = [mm] x^2-2, [/mm] (4) = [mm] x^2-2+sqrt(3), [/mm] (5) = [mm] x^2-2-sqrt(3)})
[/mm]
fuer die Eigenvektoren
Matrix(5, 5, {(1, 1) = -1, (1, 2) = 1, (1, 3) = 1, (1, 4) = 1, (1, 5) = -1, (2, 1) = 1, (2, 2) = sqrt(3), (2, 3) = -sqrt(3), (2, 4) = 0, (2, 5) = -1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 2, (3, 3) = 2, (3, 4) = -1, (3, 5) = 0, (4, 1) = -1, (4, 2) = sqrt(3), (4, 3) = -sqrt(3), (4, 4) = 0, (4, 5) = 1, (5, 1) = 1, (5, 2) = 1, (5, 3) = 1, (5, 4) = 1, (5, 5) = 1})
sind die Eigenvektoren die Wellenfunktionen?
gruss lisa
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo lisa11,
> wie oben
> gut das habe ich gemacht mit maple und bekomme fuer die
> Eigenwerte
> Vector(5, {(1) = [mm]-1+x^2,[/mm] (2) = [mm]-3+x^2,[/mm] (3) = [mm]x^2-2,[/mm] (4) =
> [mm]x^2-2+sqrt(3),[/mm] (5) = [mm]x^2-2-sqrt(3)})[/mm]
>
Poste doch die zugehörige Matrix.
> fuer die Eigenvektoren
> Matrix(5, 5, {(1, 1) = -1, (1, 2) = 1, (1, 3) = 1, (1, 4)
> = 1, (1, 5) = -1, (2, 1) = 1, (2, 2) = sqrt(3), (2, 3) =
> -sqrt(3), (2, 4) = 0, (2, 5) = -1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 2,
> (3, 3) = 2, (3, 4) = -1, (3, 5) = 0, (4, 1) = -1, (4, 2) =
> sqrt(3), (4, 3) = -sqrt(3), (4, 4) = 0, (4, 5) = 1, (5, 1)
> = 1, (5, 2) = 1, (5, 3) = 1, (5, 4) = 1, (5, 5) = 1})
> sind die Eigenvektoren die Wellenfunktionen?
>
> gruss lisa
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 22.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
Koennen wir morgen weiter machen ich muss morgen um 6 uhr raus.?
Morgen sollte ich dann fertig werden.
Gruss
lisa
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Hallo lisa11,
> Koennen wir morgen weiter machen ich muss morgen um 6 uhr
> raus.?
>
Selbstverständlich.
> Morgen sollte ich dann fertig werden.
>
> Gruss
> lisa
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Fr 23.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
[mm] \pmat{-1 +x^2 \\-3+x^2 \\x^2-2 \\x^2-2+sqrt(3) \\x^2-2-sqrt(3)}
[/mm]
Matrix fuer die Eigenwerte
Matrix fuer die Eigenvektoren
[mm] \pmat{-1&1&1&1&-1\\1&sqrt(3)&-sqrt(3)&0&-1\\0&2&2&-1&0\\-1&sqrt(3)&
-sqrt(3)&0&1\\1&1&1&1&1}
[/mm]
so wie ich das sehe sind die Eigenwerte die Energien
Wie stelle ich die Wellenfunktion fuer die Eigenvektoren auf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 23.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
koennte mir jemand hier weiterhelfen ich sollte dies morgen haben
danke
gruss lisa
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Hallo Lisa,
meine Rechnung sieht so aus:
Die DGL lautet $\ [mm] -y''(x)+x^2*y(x)\ [/mm] =\ E*y(x)$
Sie soll über dem Intervall [0...L] diskretisiert werden mittels [mm] x_i=i*h [/mm] , wobei h=L/n
Randbedingungen [mm] y_0=y(0)=0 [/mm] und [mm] y_n=y(x_n)=0
[/mm]
$\ [mm] y''(x_i)\ \approx\ \frac{1}{h^2}*(y_{i-1}-2*y_i +y_{i+1})\qquad i=1,2,\,...\,n-1$
[/mm]
Eingesetzt und alles mit [mm] h^2 [/mm] multipliziert:
$\ [mm] -y_{i-1}+(2+i^2*h^4)*y_i-y_{i+1}\ [/mm] =\ [mm] E*h^2*y_i\qquad i=1,2,\,...\,n-1$
[/mm]
Nun setze ich noch [mm] E':=E*h^2 [/mm] sowie [mm] H:=h^4
[/mm]
$\ [mm] -y_{i-1}+(2+i^2*H)*y_i-y_{i+1}\ [/mm] =\ [mm] E'*y_i\qquad i=1,2,\,...\,n-1$
[/mm]
Die entsprechende (n-1)*(n-1)- Matrix sieht dann z.B. für n=5 so aus:
[mm] $\pmat{2+H&-1&0&0\\-1&2+4*H&-1&0\\0&-1&2+9*H&-1\\0&0&-1&2+16*H}$
[/mm]
Wenn ich z.B. L:=1 und damit h:=0.2 und H:=0.0016 setze und
dann davon die Eigenwerte berechnen lasse, erhalte ich:
E'_1=0.393 ---> [mm] E_1=9.83
[/mm]
E'_2=1.395 ---> [mm] E_2=34.87
[/mm]
E'_3=2.631 ---> [mm] E_3=65.77
[/mm]
E'_4=3.629 ---> [mm] E_4=90.73
[/mm]
(Berechnungen ohne absolute Gewähr ...)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:06 Fr 23.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
Vielen dank wie berechne ich dann die Wellenfunktion setze ich dies in die sin
Funktion ein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 25.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo lisa11,
> aufgabe wie oben
> [mm]\pmat{-1 +x^2 \\-3+x^2 \\x^2-2 \\x^2-2+sqrt(3) \\x^2-2-sqrt(3)}[/mm]
>
> Matrix fuer die Eigenwerte
>
> Matrix fuer die Eigenvektoren
>
> [mm]\pmat{-1&1&1&1&-1\\1&sqrt(3)&-sqrt(3)&0&-1\\0&2&2&-1&0\\-1&sqrt(3)&
-sqrt(3)&0&1\\1&1&1&1&1}[/mm]
>
Die zugrunde liegende Matrix sieht doch so aus:
[mm]\[\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 & 0 & 0\cr 1 & {\Delta x}^{4}-2 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 4\,{\Delta x}^{4}-2 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1 & 9\,{\Delta x}^{4}-2 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 16\,{\Delta x}^{4}-2\end{pmatrix}\][/mm]
Damit kann ich mir nicht erklären,
wie Du auf obengenannte Eigenwerte kommst.
Vielleicht hast Du ja einen speziellen Wert für L angenommen.
> so wie ich das sehe sind die Eigenwerte die Energien
>
Die Eigenwerte sind [mm]\left(\Delta x \right)^{2}*E[/mm]
> Wie stelle ich die Wellenfunktion fuer die Eigenvektoren
> auf?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 23.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
was soll ich denn da rausbekommen
ich bekomme mit Maple
[mm] RootOf(_Z^5*n^16+(-30*n^12*L^4+10*n^16)*_Z^4+(273*n^8*L^8-240*n^12*L^4+36*n^16)*_Z^3+(1638*n^8*L^8+56*n^16-820*L^12*n^4-644*n^12*L^4)*_Z^2+(35*n^16+2868*n^8*L^8-656*n^12*L^4-3280*L^12*n^4+576*L^16)*_Z-2704*L^12*n^4+1368*n^8*L^8-196*n^12*L^4+6*n^16+1152*L^16)
[/mm]
kann das sein oder wie loese ich das auf?
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Hallo lisa11,
> was soll ich denn da rausbekommen
>
> ich bekomme mit Maple
>
> [mm]RootOf(_Z^5*n^16+(-30*n^12*L^4+10*n^16)*_Z^4+(273*n^8*L^8-240*n^12*L^4+36*n^16)*_Z^3+(1638*n^8*L^8+56*n^16-820*L^12*n^4-644*n^12*L^4)*_Z^2+(35*n^16+2868*n^8*L^8-656*n^12*L^4-3280*L^12*n^4+576*L^16)*_Z-2704*L^12*n^4+1368*n^8*L^8-196*n^12*L^4+6*n^16+1152*L^16)[/mm]
> kann das sein oder wie loese ich das auf?
Das kann sein, daß das charakteristische Polynom ist.
Das Polynom ist vom Grad 5 und somit
abgesehen von Sonderfällen nicht auflösbar.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Fr 23.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
was soll ich denn da rausbekommen ich bekomme eine sehr komische
Loesung mit Maple raus
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:06 Di 20.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
ist dies besser so verstaendlich?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 22.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Ein Modell für die Kopplung eines Elektrons an den Kern führt
auf das folgende Randwertproblem für die Wellenfunktion y(x):
(1) $\ [mm] y''+x^2*y=E*y\qquad -\infty\ [/mm] <\ x\ <\ [mm] +\infty$
[/mm]
(2) $ y(0)\ =\ [mm] 0\quad;\quad [/mm] y(L)\ =\ 0$
Verwenden Sie die Diskretisierung
[mm] $\frac{d^2\,y(x)}{dx^2}\ [/mm] \ --->\ \ [mm] \frac{y_{i+1}+y_{i-1}-2\,y_i}{(\Delta x)^2}\quad;\quad \Delta x=\frac{L}{n}\quad;\quad y_i=y(i*\Delta [/mm] x)$
und berechnen Sie näherungsweise die Energien E und die
Wellenfunktionen y(x) . |
Hallo zusammen,
ich wollte lisa11 bei dieser Aufgabe helfen, sehe nun aber, dass
1.) ich kaum Zeit dazu habe
2.) die Randbedingungen offenbar doch nicht für [mm] -\infty
[/mm]
und [mm] \infty [/mm] gelten sollen, sondern (wie bei der vorherigen
Aufgabe) an den Endpunkten x=0 und x=L eines endlichen
Intervalls zwischen zwei Nullstellen ...
Wer kann helfen, das Gleichungssystem aufzustellen,
die Energien und Wellenfunktionen berechnen ?
Besten Dank
Al
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Hallo Al-Chwarizmi,
> Ein Modell für die Kopplung eines Elektrons an den Kern
> führt
> auf das folgende Randwertproblem für die Wellenfunktion
> y(x):
>
> (1) [mm]\ y''+x^2*y=E*y\qquad -\infty\ <\ x\ <\ +\infty[/mm]
>
> (2) [mm]y(0)\ =\ 0\quad;\quad y(L)\ =\ 0[/mm]
>
> Verwenden Sie die Diskretisierung
>
> [mm]\frac{d^2\,y(x)}{dx^2}\ \ --->\ \ \frac{y_{i+1}+y_{i-1}-2\,y_i}{(\Delta x)^2}\quad;\quad \Delta x=\frac{L}{n}\quad;\quad y_i=y(i*\Delta x)[/mm]
>
> und berechnen Sie näherungsweise die Energien E und die
> Wellenfunktionen y(x) .
> Hallo zusammen,
>
> ich wollte lisa11 bei dieser Aufgabe helfen, sehe nun aber,
> dass
>
> 1.) ich kaum Zeit dazu habe
>
> 2.) die Randbedingungen offenbar doch nicht für [mm]-\infty[/mm]
> und [mm]\infty[/mm] gelten sollen, sondern (wie bei der
> vorherigen
> Aufgabe) an den Endpunkten x=0 und x=L eines endlichen
> Intervalls zwischen zwei Nullstellen ...
>
> Wer kann helfen, das Gleichungssystem aufzustellen,
> die Energien und Wellenfunktionen berechnen ?
Lisa's Frage ist hier von mir beantwortet worden.
> Besten Dank
>
> Al
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 22.12.2011 | | Autor: | lisa11 |
tut mir leid ich sehe die Anwort nicht nur einen Verweis auf eine alte
Mail!
Es verwirrt etwas...
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Hallo lisa11,
> tut mir leid ich sehe die Anwort nicht nur einen Verweis
> auf eine alte
> Mail!
Danke für den Hinweis.
> Es verwirrt etwas...
Gruss
MathePower
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