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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGl 1.Ordnung
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DGl 1.Ordnung: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mo 17.09.2012
Autor: hennes82

Aufgabe
[mm] y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}} [/mm]

[mm] y=\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}}=\integral_{}^{}{2xy*(x^{2}-y^{2})^{-1}dx}=2*\integral_{}^{}{u'*v^{-1}}dx [/mm]

mit u'=xy
[mm] v=(x^{2}-y^{2})^{-1} [/mm]

Ist das soweit richtig? Und nun? Wie integriere ich das denn?
Ich vermute, Ketten- und Produktregel. Weiß aber irgendwie nicht, wie??

        
Bezug
DGl 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:02 Mo 17.09.2012
Autor: fred97


> [mm]y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}[/mm]
>  [mm]y=\integral_{}^{}{f(x) dx}=\integral_{}^{}{\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}}}=\integral_{}^{}{2xy*(x^{2}-y^{2})^{-1}dx}=2*\integral_{}^{}{u'*v^{-1}}dx[/mm]
>  
> mit u'=xy
>  [mm]v=(x^{2}-y^{2})^{-1}[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?

Nein. Ich weiß nicht, was Du da getrieben hast.

So bekommst Du die Lösung der DGL    $ [mm] y'=\bruch{2xy}{x^{2}-y^{2}} [/mm] $ jedenfalls nicht.

FRED


> Und nun? Wie integriere ich das
> denn?
>  Ich vermute, Ketten- und Produktregel. Weiß aber
> irgendwie nicht, wie??


Bezug
                
Bezug
DGl 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:07 Mo 17.09.2012
Autor: hennes82

Ist denn grundsätlich richtig, das Integral von y' zu bilden?
Oder muss ich erst noch das y aus dem Integral bekommen?

Oder wie muss ich vorgehen?

Bezug
                        
Bezug
DGl 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Mo 17.09.2012
Autor: fred97


> Ist denn grundsätlich richtig, das Integral von y' zu
> bilden?
>  Oder muss ich erst noch das y aus dem Integral bekommen?
>  
> Oder wie muss ich vorgehen?

Ich habe den Eindruck, dass Du über gewöhnliche Differentialgleichungen nicht viel weißt.

Welche Typen von DGLen habt Ihr bisher behandelt ? Welche Lösungsmethoden ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
DGl 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mo 17.09.2012
Autor: hennes82

Wir haben eigentlich alle so ein bisschen gehabt...

Ich erkenne aber nicht genau, um was es sich handelt.

Meiner Meinung nach ist das eine lineare DGl 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

-> Also Lösung durch Ansatz oder Variation der Konstanten.



Bezug
                                        
Bezug
DGl 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Mo 17.09.2012
Autor: fred97


> Wir haben eigentlich alle so ein bisschen gehabt...

Muß man Dir alles aus der Nase ziehen ? Alle Typen habt Ihr sicher nicht gehabt. Also welche ?


>  
> Ich erkenne aber nicht genau, um was es sich handelt.
>  
> Meiner Meinung nach ist das eine lineare DGl 1.Ordnung mit
> konstanten Koeffizienten.

Das ist Unsinn !


Hattet Ihr exakte DGLen ? Wenn ja, so schreibe Deine DGL in der Form

(*)     Pdx+Qdy=0.

(*) ist zwar nicht exakt, aber es gibt einen Multiplikator , der nur von y abhängt.



FRED

>  
> -> Also Lösung durch Ansatz oder Variation der
> Konstanten.
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
DGl 1.Ordnung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Mo 17.09.2012
Autor: hennes82

Danke nochmal für den Tipp. Habe mir exakte DGln mal angeschaut.

Also folgt für diese Aufgabe:

[mm] y'(x^{2}-y^{2})-2xy=0 [/mm]

mit [mm] g(x;y)=(x^{2}-y^{2}) [/mm] und h(x;y)=-2xy

[mm] \bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}=-2 [/mm]

Integration:

[mm] \integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{[-2xy-\integral_{}^{}{}\bruch{\partial g}{\partial y}dx]dy}=C=const [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{2x-2xy dy}=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}=C [/mm]

Lösung: [mm] C=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
DGl 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Mo 17.09.2012
Autor: Richie1401

Hallo hennes,

> Danke nochmal für den Tipp. Habe mir exakte DGln mal
> angeschaut.
>  
> Also folgt für diese Aufgabe:
>  
> [mm]y'(x^{2}-y^{2})-2xy=0[/mm]

[mm] -2xy+(x^2-y^2)y'=0 [/mm]

>  
> mit [mm]g(x;y)=(x^{2}-y^{2})[/mm] und h(x;y)=-2xy

Es muss gelten: [mm] h_y=g_x [/mm]
Daraus ergibt sich [mm] -2x\not=2x [/mm]

Deswegen schrieb auch Fred, dass du einen eulerschen Multiplikator bestimmen sollst.

>  
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial y}=\bruch{\partial h}{\partial x}=-2[/mm]
>  
> Integration:
>  
> [mm]\integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{[-2xy-\integral_{}^{}{}\bruch{\partial g}{\partial y}dx]dy}=C=const[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{x^{2}-y^{2} dx}+\integral_{}^{}{2x-2xy dy}=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}=C[/mm]
>  
> Lösung: [mm]C=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2}[/mm]  

Das dies nicht stimmt, erkennt man, wenn du dieses [mm] F(x)=\bruch{x^{3}}{3}-\bruch{y^{3}}{3}+2xy-xy^{2} [/mm] nach x und y ableitest.
Wäre F die Lösung dann müsste gelten:

[mm] F_x(x,y)=h(x,y) [/mm] und [mm] F_y(x,y)=g(x,y) [/mm]

Das ist aber nicht so.

Weiteres Vorgehen für dich:
Bestimme den Eulerschen Multiplikator, damit die DGL exakt wird. Fred schrieb, dass dieser nur von y abhängt, also die Form M(y) hat.
Schreibe also:
[mm] -2xy*M(y)+(x^2-y^2)*M(y)*y'=0 [/mm]
Prüfe nun die Bedigung [mm] h_y=g_x. [/mm] Daraus kannst du dann M(y) ermitteln.

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