DGl mit Randwertbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 22.02.2011 | | Autor: | Foxy333 |
Hallo
ich habe eine Frage zu Gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Randwertbedinungen.
Als Beispiel diese Aufgabe :
Gegeben sind folgende Operatoren:
L[u]=u''-u , R1[u]=u(0), R2[u]=u(1)
Intervall: (0,1)
für
L[u]=f, R1[u]=0, R2[u]=0
Die allgemeine homogene Lösung lautet: [mm] y(t)=c*e^{x}+d*e^{-x}
[/mm]
(wenn L[u]=u''-u=f sein soll, dann müsste ja f=0 gelten)
Nun soll man aber das Fundamentalsystem (v1,v2) der Differentialgleichung mit den Randwertbedinungen R1[v1] und R2[v2] bestimmt.
Wie macht man das?
vll so? u(0)=c+d=0, [mm] u(1)=c*e^{1}+d*e^{-1}=0
[/mm]
daraus folgt: c=-d , [mm] d*(e^{-1}-e^{1})=0, [/mm] also c=d=0
aber das kann ja nicht stimmen, dass de lösung u(x)=0 ist.
Wo liegt der Fehler?
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Hallo Foxy333,
> Hallo
> ich habe eine Frage zu Gewöhnlichen
> Differentialgleichungen mit Randwertbedinungen.
> Als Beispiel diese Aufgabe :
>
> Gegeben sind folgende Operatoren:
> L=u''-u , R1=u(0), R2=u(1)
> Intervall: (0,1)
> für
> L=f, R1=0, R2=0
>
> Die allgemeine homogene Lösung lautet:
> [mm]y(t)=c*e^{x}+d*e^{-x}[/mm]
> (wenn L=u''-u=f sein soll, dann müsste ja f=0 gelten)
>
> Nun soll man aber das Fundamentalsystem (v1,v2) der
> Differentialgleichung mit den Randwertbedinungen R1[v1] und
> R2[v2] bestimmt.
>
> Wie macht man das?
> vll so? u(0)=c+d=0, [mm]u(1)=c*e^{1}+d*e^{-1}=0[/mm]
> daraus folgt: c=-d , [mm]d*(e^{-1}-e^{1})=0,[/mm] also c=d=0
> aber das kann ja nicht stimmen, dass de lösung u(x)=0
> ist.
Für [mm]f \equiv 0[/mm] stimmt das.
> Wo liegt der Fehler?
Die Aufgabenstellung liest sich so,
als ob die Lösung mit der ![[]](/images/popup.gif) Greenschen Funktion erfolgen soll.
Ist diese Greensche Funktion schon behandelt worden?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 22.02.2011 | | Autor: | Foxy333 |
Hallo,
also die Greensche Funktion wurde behandelt, aber ich versteh sie nicht wirklich.
Ich habe eine Formel von einem Studenten erklärt bekommen, die wie folgt lautet:
v1=R1[u2]*u1(x)-R1[u1]*u2(x)
v2=R2[u2]*u1(x)-R2[u1]*u2(x)
das bedeutet ja für [mm] u1(x)=e^{x} [/mm] und [mm] u2(x)=e^{-x} [/mm] :
[mm] v1(x)=u2(0)*e^{x}-u1(0)*e^{-x}=e^{x}-e^{-x}
[/mm]
[mm] v2(x)=u2(1)*e^{x}-u1(1)*e^{-x}=e^{-1}*e^{x}-e^{1}*e^{-x}.
[/mm]
Das soll das Fundamentalsystem der homogenen Lösung mit Randbedingungen sein(wieso soll das gelten?)
Dann für die Greensche Funktion, soll gelten:
[mm] G(x,t)=\bruch{v1(x)*v2(t)}{p(a)*W(a)} [/mm] für x<t
[mm] G(x,t)=\bruch{v1(t)*v2(x)}{p(b)*W(b)} [/mm] für t<x
Mit W(x): Wornski-Determinante und p(x) soll der Vorfaktor des [mm] u^{(n)} [/mm] (Funktion größter Ordnung) sein.
Mit (a,b)=(0,1)
Stimmt das überhaupt?
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Hallo Foxy333,
> Hallo,
> also die Greensche Funktion wurde behandelt, aber ich
> versteh sie nicht wirklich.
> Ich habe eine Formel von einem Studenten erklärt
> bekommen, die wie folgt lautet:
>
> v1=R1[u2]*u1(x)-R1[u1]*u2(x)
>
> v2=R2[u2]*u1(x)-R2[u1]*u2(x)
>
> das bedeutet ja für [mm]u1(x)=e^{x}[/mm] und [mm]u2(x)=e^{-x}[/mm] :
> [mm]v1(x)=u2(0)*e^{x}-u1(0)*e^{-x}=e^{x}-e^{-x}[/mm]
> [mm]v2(x)=u2(1)*e^{x}-u1(1)*e^{-x}=e^{-1}*e^{x}-e^{1}*e^{-x}.[/mm]
> Das soll das Fundamentalsystem der homogenen Lösung mit
> Randbedingungen sein(wieso soll das gelten?)
> Dann für die Greensche Funktion, soll gelten:
> [mm]G(x,t)=\bruch{v1(x)*v2(t)}{p(a)*W(a)}[/mm] für x<t
> [mm]G(x,t)=\bruch{v1(t)*v2(x)}{p(b)*W(b)}[/mm] für t<x
> Mit W(x): Wornski-Determinante und p(x) soll der Vorfaktor
> des [mm]u^{(n)}[/mm] (Funktion größter Ordnung) sein.
> Mit (a,b)=(0,1)
Im Nenner muß stehen:
[mm]p\left(t\right)*\vmat{ \begin{matrix} R1\left[u1\right] & R1\left[u2\right] \\ R2\left[u1\right] & R2\left[u2\right] \end{matrix} } *\vmat{\begin{matrix} u1\left(t\right) & u2\left(t\right) \\ u1'\left(t\right) & u2'\left(t\right) \end{matrix} }[/mm]
> Stimmt das überhaupt?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 22.02.2011 | | Autor: | Foxy333 |
Hall,
könntest du vielleicht genau erklären, wie du auf diese Form kommst?
Ich versteh die Form nicht
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Hallo Foxy333,
> Hall,
> könntest du vielleicht genau erklären, wie du auf diese
> Form kommst?
> Ich versteh die Form nicht
Ausgehend von
[mm]\Gamma\left(x,t\right)=\summe_{i=1}^{2}\left( \ a_{i}\left(t\right)\pm b_{i}\left(t\right) \ \right)*u_{i}\left(x\right), \ \left\{\begin{matrix} + & t \le x \\ - & x \le t \end{matrix}\right[/mm]
Die Forderung der Stetigkeit von [mm]\Gamm[/mm] und der
Sprungrelation [mm]\Gamma_{x}[/mm] längs der Diagonalen
x=t führt auf die Gleichungen
[mm]b_{1}\left(t\right)*u_{1}\left(t\right)+b_{2}\left(t\right)*u_{2}\left(t\right)=0[/mm]
[mm]b_{1}\left(t\right)*u_{1}'\left(t\right)+b_{2}\left(t\right)*u_{2}'\left(t\right)=\bruch{1}{2*p\left(t\right)}[/mm]
woraus sich [mm]b_{1}, \ b_{2}[/mm] bestimmen.
Wobei der Operator
[mm]Lu:=\left( \ p\left(x\right)*u' \ \right)'+q\left(x\right)*u = f\left(x\right)[/mm]
zu betrachten ist.
Zur Bestimmung von [mm]a_{1}, \ a_{2}[/mm] werden die Randbedingungen
[mm]R_{1}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left( \ a_{i}\left(t\right)-b_{i}\left(t\right) \ \right)*R_{1}u_{i}=0[/mm]
[mm]R_{2}\Gamma=\summe_{i=1}^{2}\left( \ a_{i}\left(t\right)+b_{i}\left(t\right) \ \right)*R_{2}u_{i}=0[/mm]
Diese Gleichungen sind genau dann nach [mm]a_{1}, \ a_{2}[/mm] auflösbar,
wenn
[mm]\vmat{\begin{matrix} R_{1}u_{1} & R_{1}u_{2} \\ R_{2}u_{1} & R_{2}u_{2}\end{matrix} } \not=0[/mm]
Gruss
MathePower
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