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Forum "Differentialgleichungen" - DLG mit trennbaren Variablen
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DLG mit trennbaren Variablen: Tipp/Verständisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Sa 24.01.2009
Autor: milox

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem

Hallo,

ich habe ein kleines Problem und zwar kann ich nicht genau unterscheiden,

wann ich genau welches Verfahren anwenden soll, um deine DLG 1. Ordnung zu

lösen.

Es gibt ja mehrere Verfahren:

Trennung der Variablen bei Funktionen der Form: y'= f(x)*g(y)
Integration durch Substitution bei Funktionen der Form:

y'= f(ax+by+c)  und  [mm] y'=f(\bruch{y}{x}) [/mm]

Dann gibt es lineare DLGs 1. Ordnung die nochmal in homogene und inhomogene DLGs unterschieden werden. Homogene haben im Gegensatz zu inhomogenen kein Störglied. Für beide gilt es die Variablen zu trennen und dann zu integrieren und bei der inhomogenen DLG noch zusätzlich die Variation der Konstante anzuwenden.

So nun habe ich 2 Aufgaben mit Lösungen vom Dozenten erhalten:

Aufgabe 1
Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm] y'y^{2}+x^{2}-1=0 [/mm]   mit  y(2)=1

Diese Aufgabe löst er einfach durch Trennung der Variablen. Nachvollziehbar und leicht...einfach nach [mm] x^{'} [/mm] auflösen


[mm] y'=\bruch{1-x^{2}}{y^{2}} [/mm]

und dann Trennung der Variablen, Integration, um auf die allg. Lösung zu kommen und schließlich die partikuläre Lösung ermittelt durch einsetzen des AWPs.


Aufgabe 2

Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems:

y'= y+cos(x)  und  y(0)=1

Seine Lösung lässt darauf schließen, dass es sich hier um eine inhomogene DLG handelt, weil er 1. die Variablen trennt und dann die Variation der Konstanten macht.

Ich verstehe nicht, warum er bei Aufgabe 1 einfach Trennung der Variablen anwendet und bei Aufgabe 2 nach der Trennung noch zusätzlich Variation der Konstanten...wenn ich beide nach y' auflöse, dann haben sie für mich dieselbe Form und dann sehe ich nicht wieso bei der 2. Aufgabe ein Störglied vorhanden sein sollte.

Ich hoffe jemand kann mir da auf die Sprünge helfen!



        
Bezug
DLG mit trennbaren Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Sa 24.01.2009
Autor: MathePower

Hallo milox,

> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem
>  Hallo,
>  
> ich habe ein kleines Problem und zwar kann ich nicht genau
> unterscheiden,
>
> wann ich genau welches Verfahren anwenden soll, um deine
> DLG 1. Ordnung zu
>
> lösen.
>  
> Es gibt ja mehrere Verfahren:
>  
> Trennung der Variablen bei Funktionen der Form: y'=
> f(x)*g(y)
>  Integration durch Substitution bei Funktionen der Form:
>  
> y'= f(ax+by+c)  und  [mm]y'=f(\bruch{y}{x})[/mm]
>  
> Dann gibt es lineare DLGs 1. Ordnung die nochmal in
> homogene und inhomogene DLGs unterschieden werden. Homogene
> haben im Gegensatz zu inhomogenen kein Störglied. Für beide
> gilt es die Variablen zu trennen und dann zu integrieren
> und bei der inhomogenen DLG noch zusätzlich die Variation
> der Konstante anzuwenden.
>  
> So nun habe ich 2 Aufgaben mit Lösungen vom Dozenten
> erhalten:
>  
> Aufgabe 1
>  Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
>  [mm]y'y^{2}+x^{2}-1=0[/mm]   mit  y(2)=1
>  
> Diese Aufgabe löst er einfach durch Trennung der Variablen.
> Nachvollziehbar und leicht...einfach nach [mm]x^{'}[/mm] auflösen
>
>
> [mm]y'=\bruch{1-x^{2}}{y^{2}}[/mm]
>  
> und dann Trennung der Variablen, Integration, um auf die
> allg. Lösung zu kommen und schließlich die partikuläre
> Lösung ermittelt durch einsetzen des AWPs.
>  
>
> Aufgabe 2
>  
> Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems:
>  
> y'= y+cos(x)  und  y(0)=1
>  
> Seine Lösung lässt darauf schließen, dass es sich hier um
> eine inhomogene DLG handelt, weil er 1. die Variablen
> trennt und dann die Variation der Konstanten macht.
>  
> Ich verstehe nicht, warum er bei Aufgabe 1 einfach Trennung
> der Variablen anwendet und bei Aufgabe 2 nach der Trennung
> noch zusätzlich Variation der Konstanten...wenn ich beide
> nach y' auflöse, dann haben sie für mich dieselbe Form und
> dann sehe ich nicht wieso bei der 2. Aufgabe ein Störglied
> vorhanden sein sollte.
>  
> Ich hoffe jemand kann mir da auf die Sprünge helfen!
>  
>  


Fakt ist, daß y und y' bei Aufgabe 1 multiplikativ
und bei Aufgabe 2 additiv verbunden sind.

Daher mußt Du bei Aufgabe 2 erst die homogene DGL

[mm]y'-y=0[/mm]

lösen, um dann mit Hilfe der Variation der Konstanten
die Lösung der inhomogenen DGL

[mm]y'-y=\cos\left(x\right)[/mm]

zu  bestimmen.


Gruß
MathePower

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