DZGL k>=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:24 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Sandy90 |
| Aufgabe | Lösen Sie für [mm] k\ge [/mm] 0 die Dzgl.
[mm] Y_{k+1}+2Y_{k}=2^{k} [/mm] mit der AWA [mm] Y_{0}=0 [/mm] |
Ich weiß leider nicht recht wie ich mit diese Aufgabe umgehen soll. Im Skript habe ich einen Abschnitt gefunden der Dzgl behandelt und konnte dort unter Annahme, dass es sich um eine "Inhomogene Dzgl mit konstante Koeff." handelt der Form [mm] Y_{k+1}+aY_{k}=g_{k} [/mm] und unter der vorrausetzung dass [mm] Y_{0} [/mm] gegeben ist, folgende Formel zu Lösen diese DZGL gefunden (für den Fall k>0):
[mm] Y_{k}= (-a)^{k} \cdot (Y_{0}+\summe_{i=0}^{k-1} \cdot g_{i} \cdot(-a)^{-1-i} [/mm] ) für k>0
Mein Ansatz war "das was ich habe erstmal einzusetzen":
a=2, g=2, [mm] Y_{0}=0
[/mm]
[mm] Y_{k}= (-2)^{k} \cdot (0+\summe_{i=0}^{k-1} \cdot 2_{i} \cdot(-2)^{-1-i})
[/mm]
leider habe ich nun keine Ahnung was gemacht werden soll... und die Formel im Skript ist einmal für k>0 und k<0 gegeben. In der Aufgabenstellung ist aber von [mm] k\ge [/mm] 0 die rede. Kann mir jemand weiter helfen?
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Kann ich versuchen diese Aufgabe so zu lösen?
Homogene Lösung
[mm] Y_{k+1}+2Y_{k}=0
[/mm]
bestimmt nullstelle mit:
[mm] \lambda= Y_{k+1}
[/mm]
=> [mm] \lambda+2= [/mm] 0
[mm] \lambda=-2 [/mm]
(Homogene Lösung)
[mm] Y_{k_h}= C_{1}\cdot -2^{k}
[/mm]
Ansatz für Störfunktion
r(x)= [mm] 2^{k} [/mm] Ansatz: [mm] Y_{p}= A\cdot 2^{k}
[/mm]
somit:
[mm] y_{p}= 2^{k-1}
[/mm]
somit
[mm] Y_{k}= (c_{1} \cdot-2^{k})+2^{k-1}
[/mm]
Das ergebnis soll aber lauten (Musterlösung):
[mm] Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
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Hallo Sandy90,
> Kann ich versuchen diese Aufgabe so zu lösen?
>
>
> Homogene Lösung
>
> [mm]Y_{k+1}+2Y_{k}=0[/mm]
>
> bestimmt nullstelle mit:
> [mm]\lambda= Y_{k+1}[/mm]
>
>
> => [mm]\lambda+2=[/mm] 0
> [mm]\lambda=-2[/mm]
>
> (Homogene Lösung)
>
> [mm]Y_{k_h}= C_{1}\cdot -2^{k}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]Y_{k_h}= C_{1}\cdot\left\blue{(} -2\blue\right\blue{)}}^{k}[/mm]
> Ansatz für Störfunktion
>
> r(x)= [mm]2^{k}[/mm] Ansatz: [mm]Y_{p}= A\cdot 2^{k}[/mm]
>
> somit:
>
> [mm]y_{p}= 2^{k-1}[/mm]
>
> somit
>
> [mm]Y_{k}= (c_{1} \cdot-2^{k})+2^{k-1}[/mm]
>
> Das ergebnis soll aber lauten (Musterlösung):
>
> [mm]Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
Poste die Rechenschritte, wie Du auf [mm]y_{p}[/mm] kommst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 01.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Hallo,
Ich habe für den ersten Teil der Aufgabe die NS bestimmt indem ich folgende "Substitution" vorgenommen habe: [mm] Y_{k+1}= \lambda
[/mm]
dann erhalte ich [mm] \lambda= [/mm] -2
(somit als homogene Lösung): [mm] Y_{k}=C_{1} \cdot (-2)^{k}
[/mm]
leider habe ich keine Ahnung ob ich es so Lösen kann, da die ganze Zeit von k [mm] \ge [/mm] 0 die rede ist, das verwirrt mich+ die Formel im Skript
Für [mm] Y_{p} [/mm] gehe ich wie folgt vor:
[mm] Y_{k}=A\cdot 2^{k}
[/mm]
[mm] Y_{k+1}=A\cdot 2^{k+1}
[/mm]
setze es in DZGL ein:
[mm] A\cdot 2^{k+1}+2(A\cdot 2^{k}) [/mm] = [mm] 2^{k}
[/mm]
[mm] 2A\cdot 2^{k}+ 2A\cdot 2^{k} =2^{k}
[/mm]
[mm] 4A\cdot 2^{k}=2^{k}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{4} [/mm]
wegen: [mm] Y_{k}= [/mm] A [mm] \cdot 2^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow Y_{k}=\bruch{2^{k}}{4}
[/mm]
Oh, da hatte sich ein Rechenfehler eingeschlichen...
so wäre mein (die allgemeine Lösung homogen+Yp): [mm] Y_{k}= (C_{1} \cdot (-2)^{k})+ 2^{k}*4^{-1}
[/mm]
Das sieht aber nicht aus wie:
[mm] Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Nun gut, ich habe noch die AWA [mm] Y_{0}=0...
[/mm]
0= [mm] (C_{1} \cdot (-2)^{0})+ 2^{0}*4^{-1}
[/mm]
[mm] o=-c+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] c=\bruch{1}{4}
[/mm]
also:
[mm] Y_{k}= [/mm] ( [mm] \bruch{1}{4} \cdot (-2)^{k} [/mm] )+ ( [mm] 2^{k}*4^{-1})
[/mm]
=0
0... schlecht. Hätte ich hingegen:
[mm] \bruch{2^{k}}{2}=2^{k-1}Y_{k}=2^{k-1} [/mm] sähe es schon besser aus
Hier ist ein Fehler unterlaufen, wenn [mm] Y_{k}=(-2)^{k}\cdot C_{1}+\bruch{2^{k}}{4} [/mm] ist, dann ist wegen [mm] (-2)^{0}=1 [/mm] (ich hatte davor [mm] -2^{0} [/mm] und das wäre =-1... klassischer Vorzeichenfehlen :( )
dann
c1= [mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] Y_{k}= \bruch{-2^{k}}{4}+\bruch{-2^{k}}{4} [/mm] = [mm] 2^{k}\cdot 2^{-1}=2^{k-1} [/mm] sieht gut aus, aber wie komme ich auf folgende Lösung:
[mm] Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]
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Hallo Sandy90,
> Hallo,
>
> Ich habe für den ersten Teil der Aufgabe die NS bestimmt
> indem ich folgende "Substitution" vorgenommen habe:
> [mm]Y_{k+1}= \lambda[/mm]
>
> dann erhalte ich [mm]\lambda=[/mm] -2
> (somit als homogene Lösung): [mm]Y_{k}=C_{1} \cdot (-2)^{k}[/mm]
>
> leider habe ich keine Ahnung ob ich es so Lösen kann, da
> die ganze Zeit von k [mm]\ge[/mm] 0 die rede ist, das verwirrt mich+
> die Formel im Skript
>
Das ist sogar so zu lösen.
> Für [mm]Y_{p}[/mm] gehe ich wie folgt vor:
>
> [mm]Y_{k}=A\cdot 2^{k}[/mm]
>
> [mm]Y_{k+1}=A\cdot 2^{k+1}[/mm]
>
> setze es in DZGL ein:
>
> [mm]A\cdot 2^{k+1}+2(A\cdot 2^{k})[/mm] = [mm]2^{k}[/mm]
> [mm]2A\cdot 2^{k}+ 2A\cdot 2^{k} =2^{k}[/mm]
> [mm]4A\cdot 2^{k}=2^{k}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{4}[/mm]
> wegen: [mm]Y_{k}=[/mm] A [mm]\cdot 2^{k}[/mm]
> [mm]\Rightarrow Y_{k}=\bruch{2^{k}}{4}[/mm]
>
> Oh, da hatte sich ein Rechenfehler eingeschlichen...
>
> so wäre mein (die allgemeine Lösung homogen+Yp): [mm]Y_{k}= (C_{1} \cdot (-2)^{k})+ 2^{k}*4^{-1}[/mm]
>
> Das sieht aber nicht aus wie:
>
> [mm]Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Nun gut, ich habe noch die AWA [mm]Y_{0}=0...[/mm]
>
>
> 0= [mm](C_{1} \cdot (-2)^{0})+ 2^{0}*4^{-1}[/mm]
> [mm]o=-c+\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]c=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> also:
> [mm]Y_{k}=[/mm] ( [mm]\bruch{1}{4} \cdot (-2)^{k}[/mm] )+ ( [mm]2^{k}*4^{-1})[/mm]
> =0
>
> 0... schlecht. Hätte ich hingegen:
> [mm]\bruch{2^{k}}{2}=2^{k-1}Y_{k}=2^{k-1}[/mm] sähe es schon
> besser aus
>
> Hier ist ein Fehler unterlaufen, wenn [mm]Y_{k}=(-2)^{k}\cdot C_{1}+\bruch{2^{k}}{4}[/mm]
> ist, dann ist wegen [mm](-2)^{0}=1[/mm] (ich hatte davor [mm]-2^{0}[/mm] und
> das wäre =-1... klassischer Vorzeichenfehlen :( )
>
> dann
>
> c1= [mm]-\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]Y_{k}= \bruch{-2^{k}}{4}+\bruch{-2^{k}}{4}[/mm] = [mm]2^{k}\cdot 2^{-1}=2^{k-1}[/mm]
> sieht gut aus, aber wie komme ich auf folgende Lösung:
>
Um auf die Lösung zu kommen, mußt Du eine Fallunterscheidung machen:
i) k gerade
ii) k ungerade
>
>
> [mm]Y_{k}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Sandy90 |
Vielen Dank! :)
Um auf die Lösung zu kommen, mußt Du eine Fallunterscheidung machen:
i) k gerade
ii) k ungerade
Warum? Und woran erkenne ich das ich genau diese Fallunterscheidung (gerade ungerade) machen muss?
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Hallo Sandy90,
> Vielen Dank! :)
>
>
> Um auf die Lösung zu kommen, mußt Du eine
> Fallunterscheidung machen:
>
> i) k gerade
> ii) k ungerade
>
> Warum? Und woran erkenne ich das ich genau diese
> Fallunterscheidung (gerade ungerade) machen muss?
Nun, es ist doch [mm]\left(-2\right)^{k}=\left(-1}\right)^{k}*2^{k}[/mm].
Und da die allgemeine Lösung die Form
[mm]a*\left(-2\right)^{k}+b*2^{k}[/mm]
hat, schreit das förmlich nach einer Fallunterscheidung.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch richtig
$ [mm] Y_{k}= [/mm] $ ( $ [mm] \bruch{1}{4} \cdot (-2)^{k} [/mm] $ )+ ( $ [mm] 2^{k}\cdot{}4^{-1}) [/mm] $ Umgeschrieben:
$ [mm] Y_{k}= $-(-2)^{k-2} [/mm] $ [mm] )+2^{k-2} [/mm] $
k gerade, k-2 gerade [mm] Y_K=0
[/mm]
k ug [mm] Y_K=2*2^{k-2}=2^{k-1}
[/mm]
was willst du mehr, alles richtig gemacht, nur unübersichtlich aufgeschrieben.
Gruss leduart
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